Série alternée des entiers
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En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les sommes partielles de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme :
Cette série est divergente car la suite des sommes partielles
est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale :
Aucune justification rigoureuse de cette identité n'était alors disponible. En 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel et d'autres recherchèrent des méthodes générales pour sommer des séries divergentes, c'est-à-dire donner une valeur à leur somme. Dans le cas de la série 1 – 2 + 3 – 4 + …, nombre de ces méthodes aboutissent bien à la valeur 1⁄4, par exemple la sommation d'Abel, mais d'autres non, comme le lemme de Cesàro, qui échoue à déterminer une somme.
Cette série et la série de Grandi sont liées et Euler les considérait comme des cas particuliers des séries de puissances alternées (1 − 2n + 3n − 4n + …, pour n entier naturel quelconque). Cette étude prenait racine dans le problème de Bâle, pour en venir à considérer les équations fonctionnelles des fonctions êta de Dirichlet et zêta de Riemann.