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représentation qui n'admet pas de sous-représentation non triviale De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques et plus précisément en théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentations. Le présent article traite des représentations d'un groupe. Le théorème de Maschke démontre que dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles. Dans le cas des groupes finis, les informations liés aux représentations irréductibles sont encodées dans la table de caractères du groupe.
Dans toute la suite de l'article, G désigne un groupe et (V, ρ) une représentation linéaire de G sur un corps K.
La théorie des représentations s'exprime aussi en termes de G-modules, c'est-à-dire de modules sur l'algèbre K[G] du groupe. V dispose naturellement d'une structure de G module. Dans ce contexte, la définition prend la forme suivante :
Le théorème de Maschke indique que tout sous-espace irréductible de la représentation (V, ρ) est facteur direct, c'est-à-dire qu'il possède un sous-espace supplémentaire stable.
Ce théorème s'applique au moins dans deux cas importants :
Dans ce cas, le module V est semi-simple. Toute représentation de G est alors somme directe de représentations irréductibles. Plus précisément, toute représentation de G est somme directe de ses sous-représentations isotypiques, et chacune de ces composantes est elle-même (de façon non unique) somme directe de sous-représentations irréductibles deux à deux équivalentes.
Par exemple pour la représentation régulière d'un groupe fini, chaque composante isotypique est somme directe de d copies d'une même représentation irréductible de degré d.
On suppose dans ce paragraphe que G est un groupe fini d'ordre g et que la caractéristique de K ne divise pas g. Le théorème de Maschke s'applique alors. (W, σ) désigne ici une représentation irréductible de G de degré d. On suppose enfin que le polynôme Xg – 1 est scindé dans K.
L'espace vectoriel des fonctions centrales, c'est-à-dire constantes sur chaque classe de conjugaison, à valeurs dans K, est muni d'une forme bilinéaire symétrique canonique ( | ) pour laquelle les caractères irréductibles forment une base orthonormée. En particulier :
Lorsque K est de caractéristique nulle, la forme bilinéaire précédente fournit une condition nécessaire et suffisante commode pour déterminer l'irréductibilité d'une représentation.
L'algèbre K[G] correspond à un enrichissement de la structure algébrique de la représentation régulière. Le centre de l'algèbre est l'anneau commutatif des fonctions centrales, sur lequel il est possible d'utiliser des théorèmes d'arithmétique. Ils permettent par exemple de démontrer la propriété suivante, originellement due à Frobenius pour les représentations complexes[2] :
La démonstration en caractéristique nulle de (Serre, p. II - 4) est reproduite dans la section « Entier algébrique » de l'article « Algèbre d'un groupe fini ».
Le produit tensoriel permet, à partir de représentations de deux groupes G1 et G2, de construire une représentation de leur produit direct G1×G2, et pour les représentations irréductibles on a une bijection :
Dans le cas où N est un sous-groupe normal de G, les représentations induites permettent d'établir une relation entre une représentation irréductible σ de G et sa restriction à N :
On en déduit le théorème d'Itô[3] :
De plus, le critère d'irréductibilité de Mackey fournit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une représentation induite soit irréductible.
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