Représentation conjuguée

En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel complexe V, on définit sa représentation conjuguée ρ sur le conjugué V de V.

• Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ(g) est l'application linéaire conjuguée de ρ(g). Pour une représentation unitaire, la représentation conjuguée est équivalente à la représentation duale.
• De même, si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie réelle ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors ρ est la représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ définie par :pour tout élément u de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ρ(u) est l'application linéaire conjuguée de ρ(u)^[1].Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie (complexe) involutive (i.e. munie d'une involution * compatible avec le crochet de Lie), alorspour tout élément u de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ρ(u) est le conjugué de -ρ(u*).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Complex conjugate representation » (voir la liste des auteurs).

1. C'est la convention des mathématiciens. Les physiciens, qui utilisent des conventions différentes dans lesquelles le crochet de Lie de deux vecteurs réels est un vecteur imaginaire pur, insèrent un signe « - » dans la définition.

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