Pseudosphère

En géométrie, le terme de pseudosphère est utilisé pour décrire diverses surfaces dont la courbure de Gauss est constante et négative. Selon le contexte, il peut se référer soit à une surface théorique de courbure négative (une variété riemannienne), soit à une surface effectivement réalisée de l'espace, telle qu'une tractricoïde.

La pseudosphère étudiée par Eugenio Beltrami

Pseudosphères théoriques

Dans son acception la plus générale, une pseudosphère de rayon R est une surface (complète et simplement connexe) de courbure totale en tout point égale à ⁻¹⁄_R², par analogie à la sphère de rayon R dont la courbure est ¹⁄_R². Le terme a été introduit par Eugenio Beltrami en 1868 dans son article sur un modèle de géométrie hyperbolique^[1].

Tractricoïde

Tractricoïde

Le terme est également utilisé pour désigner une surface appelée « tractricoïde » ; c'est le résultat de la révolution d'une tractrice le long de son asymptote. Un exemple de ce type d'objet est la (demi) pseudosphère (de rayon 1) engendrée par la surface de révolution d'une tractrice paramétrisé par^[2]

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh({t}),{\frac {1}{\cosh(t)}}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Cette surface présente une singularité à l'« équateur », mais en dehors de celui-ci, elle est de courbure constante négative, et est donc localement isométrique à un plan hyperbolique. Elle n'est pas simplement connexe.

Le nom de « pseudosphère » lui est donné par analogie avec la sphère. Il s'agit en effet d'une surface de courbure constante négative, tandis que la sphère est une surface de courbure constante positive.

Au début des années 1639, Christian Huygens démontra que le volume et la surface de la pseudosphère sont finis^[3] malgré l'extension infinie de la surface le long de son axe de rotation. Pour un rayon donné R, l'aire est ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$, comme pour la sphère, alors que le volume est ${\displaystyle {2 \over 3}\pi R^{3}}$, soit la moitié du volume d'une sphère de même rayon^[4],[5].

Voir aussi

• Théorème de Hilbert (géométrie différentielle)
• Trompette de Gabriel
• Surface de Dini

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudosphere » (voir la liste des auteurs).

1. (it) Eugenio Beltrami, « Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea », Gior. Mat., vol. 6,‎ 1868, p. 248–312. Voir également, du même auteur : (it) Opere Matematiche, vol. 1, 374–405 p. (ISBN 978-1-4181-8434-6 et 1-4181-8434-9) et « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », Ann. École Norm. Sup. 6,‎ 1869, p. 251–288 (lire en ligne).
2. (en) Francis Bonahon, Low-dimensional Geometry : From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots, AMS Bookstore, 2009, 384 p. (ISBN 978-0-8218-4816-6 et 0-8218-4816-X, lire en ligne), chap. 5, p. 108
3. Olvi L. Mangasarian et Jong-Shi Pang, Computational optimization : a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1, Springer, 1999 (ISBN 0-7923-8480-6, lire en ligne), chap. 17, p. 324
4. François Le Lionnais, Great Currents of Mathematical Thought, vol. II, Mathematics in the Arts and Sciences, Courier Dover Publications, 2004 (ISBN 0-486-49579-5, lire en ligne), « 40 », p. 154
5. (en) Eric W. Weisstein, « Pseudosphere », sur MathWorld

Liens externes

• (en) The Pseudosphere, sur le site « NonEuclid » de Joel Castellanos
• (en) Crocheting the Hyperbolic Plane: An Interview with David Henderson and Daina Taimina
• (en) Page de C. T. J. Dodson, professeur émérite à l'université de Manchester
• Pseudo-sphère sur mathcurve.

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