Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• une projection linéaire associée à une décomposition d'un espace vectoriel E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
• une application linéaire idempotente : elle vérifie p•p = p.

Un exemple de projection

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : ${\displaystyle \forall x\in E,\exists$ !(x',x'')\in F\times G,x=x'+x''} . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application^[1] :

${\displaystyle {\begin{matrix}p:&E=F\oplus G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'.\end{matrix}}}$

Propriétés

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p² = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Théorème de caractérisation des projecteurs^[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur im(p) parallèlement à ker(p), ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p).

Projecteurs de même image

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

Démonstration

• Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
• Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p² = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r² = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels ${\displaystyle E_{1},\cdots ,E_{n}}$ si et seulement s'il existe une famille de projecteurs ${\displaystyle p_{i}:E\to E_{i}}$ (pour ${\displaystyle i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}}$) vérifiant : ${\displaystyle \operatorname {id} _{E}=p_{1}+\cdots +p_{n}}$ et ${\displaystyle p_{i}\circ p_{j}=0}$ si i ≠ j.

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

• En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p² = p, ou que s² = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si ${\displaystyle \ker(p)=(\operatorname {im} (p))^{\perp }}$. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{r},e_{r+1},\ldots ,e_{n})}$ une base de E avec ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{r}}$ des vecteurs de im(p) et ${\displaystyle e_{r+1},\ldots ,e_{n}}$ des vecteurs de ker(p) (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(p)={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{r}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} _{n-r}\end{pmatrix}}.}$

On a donc les propriétés suivantes :

• sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
• les autres coefficients sont nuls.

Utilité des projecteurs

En géométrie projective

En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{3}{\text{ et }}\mathbb {R} P^{2}}$ l'espace projectif associé. Soit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} P^{2}}$ et ${\displaystyle d=\pi ({\mathcal {P}})}$ une droite projective ne passant pas par ${\displaystyle a}$. Soit ${\displaystyle {\hat {a}}}$ un représentant de ${\displaystyle a}$ et soit ${\displaystyle p}$ la projection sur ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ parallèlement à ${\displaystyle \mathbb {R} {\hat {a}}}$.

Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale ${\displaystyle p_{a,d}}$, projection de centre ${\displaystyle a}$ sur la droite ${\displaystyle d}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}E-\mathbb {R} {\hat {a}}&\displaystyle \xrightarrow {p} &E-\{0\}\\\pi \downarrow &&\pi \downarrow \\\mathbb {R} P^{2}-\{a\}&\displaystyle \xrightarrow {p_{a,d}} &\mathbb {R} P^{2}\end{matrix}}}$

Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective^[3].

En géométrie affine

Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.

En théorie des séries de Fourier

Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat^[4].

Notes et références

1. Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2012, 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.
2. La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.
3. Daniel Perrin, « Géométrie projective linéaire, ex 1.7.5 p30 et chapitre 2, p.33- », sur Université Paris-Saclay
4. Serge Lang, Undergraduate analysis, Springer, 1997 (ISBN 0-387-94841-4, 978-0-387-94841-6 et 3-540-90800-5), chapitre XII, 291-

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