Problème des pièces de monnaie

En mathématiques, le problème des pièces de monnaie, également appelé le problème des pièces de Frobenius ou le problème de Frobenius du nom du mathématicien Georg Frobenius, est un problème diophantien linéaire. Il s'agit de déterminer le montant le plus élevé que l'on ne peut pas représenter en n'utilisant que des pièces de monnaie de valeurs faciales fixées^[1]. Par exemple, le plus grand montant que l'on ne peut pas exprimer avec des pièces de 3 et de 5 unités est 7 unités. La solution du problème pour un ensemble de pièces donné est appelée le nombre de Frobenius de cet ensemble.

Avec des pièces de 2 et de 5 centimes, on peut exprimer tout montant, sauf 1 et 3 centimes.

Il existe une formule explicite pour le nombre de Frobenius dans le cas où il n'y a que deux valeurs de pièces. Si le nombre de valeurs est plus grand, on ne connaît pas de formule explicite ; toutefois, pour tout nombre fixé de valeurs faciales, il existe un algorithme qui calcule le nombre de Frobenius en temps polynomial (en fonction du logarithme des valeurs faciales données en entrée)^[2]. On ne connaît pas d'algorithme polynomial comme fonction du nombre de valeurs faciales, et le problème général, où le nombre de valeurs faciales est arbitrairement grand, est NP-difficile^[3],[4].

Énoncé

En termes mathématiques, le problème s'énonce comme suit.

Étant donnés des entiers strictement positifs ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ distincts et premiers entre eux dans leur ensemble, déterminer le plus grand entier qui n'est pas une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs ou nuls de ces entiers, c'est-à-dire qui n'est pas de la forme ${\displaystyle k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{n}a_{n}}$ pour des entiers positifs ou nuls ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}}$.

Ce plus grand entier est appelé le nombre de Frobenius de l'ensemble ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ et est noté habituellement ${\displaystyle g(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$.

La condition que les nombres ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ soient premiers entre eux, c'est-à-dire que leur PGCD ${\displaystyle d}$ soit égal à 1, est nécessaire et suffisante pour assurer l'existence du nombre de Frobenius :

• toute combinaison linéaire de ces entiers est divisible par ${\displaystyle d}$, donc un entier qui n'est pas multiple de ${\displaystyle d}$ ne peut pas être exprimé de cette manière or, lorsque ${\displaystyle d>1}$, il n'existe pas de plus grand entier non multiple de ${\displaystyle d}$ (par exemple, si toutes les valeurs faciales sont paires, on ne peut pas exprimer un montant impair) ;
• au contraire, si ${\displaystyle d=1}$, tout entier m est combinaison linéaire à coefficients entiers de ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ et même, si ${\displaystyle m}$ est assez grand, à coefficients entiers positifs, d'après un théorème de Schur. Dans ce cas, le nombre de Frobenius existe^[5].

Nombres de Frobenius pour n petit

Une formule existe pour ${\displaystyle n=1}$ et ${\displaystyle n=2}$. Aucune formule explicite générale n'est connue pour des valeurs plus grandes^[4], problème que Frobenius mentionnait souvent dans ses cours^[6],[7].

n = 1

Dans ce cas, l'unique valeur faciale est nécessairement 1 donc^[5] le nombre de Frobenius vaut –1.

n = 2

Le nombre de Frobenius d'une paire d'entiers ${\displaystyle a,b>0}$ premiers entre eux est : ${\displaystyle g(a,b)=ab-a-b=(a-1)(b-1)-1}$^[5].Démonstration. Soit ${\displaystyle m}$ un entier arbitraire. Comme ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe un unique couple ${\displaystyle (r,s)}$ d'entiers relatifs tels que ${\displaystyle m=ra+sb}$ et ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant a-1.}$ La condition pour que ${\displaystyle m}$ soit « représentable » (par deux entiers positifs ou nuls) est que, pour ce couple particulier ${\displaystyle (r,s)}$, le coefficient ${\displaystyle r}$ soit, comme ${\displaystyle s}$, positif ou nul. Ce n'est pas le cas si ${\displaystyle m=ab-a-ab=-a+(a-1)b}$ auquel cas ${\displaystyle r=-1,s=a-1}$ d'après l'unicité, mais c'est le cas dès que ${\displaystyle m\geqslant ab-a-b+1=(a-1)(b-1)}$ puisqu'alors, ${\displaystyle ra=m-sb\geqslant (a-1)(b-1)-(a-1)b=-a+1}$, soit ${\displaystyle (r+1)a\geqslant 1}$, d'où ${\displaystyle r+1>0}$, et ${\displaystyle r\geqslant 0}$.

Ce résultat se déduit aussi simplement du lemme suivant^[8] :

LEMME : si deux entiers relatifs ont pour somme ${\displaystyle ab-a-b}$ alors un et exactement un seul est "représentable".

En effet, 0 étant représentable, ${\displaystyle ab-a-b}$ ne l'est donc pas; et si ${\displaystyle m>ab-a-ab}$, ${\displaystyle ab-a-ab-m<0}$ n'est pas représentable, donc ${\displaystyle m}$ l'est.

Ce théorème fait partie de ceux du folklore mathématique dont on ne connaît pas le découvreur^[9]. Il est extrêmement souvent^[9],[10] attribué par erreur à James Joseph Sylvester en 1884^[11], alors qu'il le considérait sans doute comme connu^[9] et que sa publication consistait en un autre exercice^[12], que l'on peut dès lors reformuler^[13] ainsi : démontrer que parmi les entiers de 0 à ${\displaystyle g(a,b)}$^[14], exactement la moitié sont représentables.Cette propriété se déduit du lemme précédent car si ${\displaystyle A_{1}}$ est l'ensemble des nombres de 0 à ${\displaystyle g(a,b)}$ qui sont représentables, et ${\displaystyle A_{2}}$ celui de ceux qui ne le sont pas, l'application ${\displaystyle m\mapsto g(a,b)-m}$ définit une bijection de ${\displaystyle A_{1}}$ sur ${\displaystyle A_{2}}$.

n = 3

On connaît des algorithmes rapides pour le calcul du nombre de Frobenius de trois entiers ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ (détaillés dans demi-groupe numérique), même si les calculs peuvent être longs et pénibles quand on les effectue à la main. On connaît des minorants et des majorants pour les nombres de Frobenius de trois entiers. Des données expérimentales^[15] montrent que la minoration de Davison^[16],

${\displaystyle g(a_{1},a_{2},a_{3})\geqslant {\sqrt {3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{1}-a_{2}-a_{3},}$

est assez fine.

Dans le cas où ${\displaystyle a_{1}=ab,a_{2}=bc,a_{3}=ca}$ où ${\displaystyle a,b,c}$ sont trois entiers strictement positifs premiers entre eux deux à deux, le nombre de Frobenius est connu^[17],[8] :

${\displaystyle g(ab,bc,ca)=2abc-ab-bc-ca}$.

Nombres de Frobenius pour des ensembles particuliers

La formule ci-dessus pour ${\displaystyle n=2}$ se généralise de deux façons.

Cas d'entiers premiers deux à deux

Si ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ sont des entiers strictement positifs deux à deux premiers entre eux, alors^[8]

${\displaystyle g\left({\frac {\pi }{a_{1}}},{\frac {\pi }{a_{2}}},\dots ,{\frac {\pi }{a_{n}}}\right)=\pi \left(n-1-\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\right)}$ où ${\displaystyle \pi =a_{1}\cdots a_{n}}$.

Suites arithmétiques

Un formule simple existe pour des entiers en progression arithmétique^[18]. Étant donné trois entiers strictement positifs ${\displaystyle a,d,s}$, avec ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (a,d)=1}$, on a :

${\displaystyle g(a,a+d,a+2d,\dots ,a+sd)=\left(\left\lfloor {\frac {a-2}{s}}\right\rfloor +1\right)a+(d-1)(a-1)-1.}$

Par exemple, les suites ${\displaystyle (g(n,n+1,\dots ,n+k))_{n}}$ pour ${\displaystyle k=2,\dots ,8}$ sont répertoriées dans l'OEIS :  A028387 ,  A079326,  A138984,  A138985,  A138986,  A138987,  A138988.

Suites géométriques

De même, il existe une formule explicite pour un cas particulier d'entiers en progression géométrique^[19]. Étant donné trois entiers strictement positifs ${\displaystyle m,n,k}$, avec ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (m,n)=1}$, on a :

${\displaystyle g(m^{k},m^{k-1}n,m^{k-2}n^{2},\dots ,n^{k})=n^{k-1}(mn-m-n)+{\frac {m^{2}(n-1)(m^{k-1}-n^{k-1})}{m-n}}.}$

Exemples élémentaires

Nombres McNugget

McDonald's Chicken McNuggets dans une boîte de 20.

Solution graphique au problème des McNuggets. Une ligne bleue (resp. rouge) désigne une quantité qui peut être achetée ou au contraire, qui ne peut pas l'être. La plus haute ligne rouge est pour 43.

Le problème des nombres McNugget^[20],[21] est un cas particulier du problème des pièces de monnaie.

Un nombre ${\displaystyle n}$ est dit McNugget si l'on peut, en choisissant bien ses boîtes de Chicken McNuggets, parvenir à un total de ${\displaystyle n}$ nuggets. Les boîtes classiques contiennent 6, 9 ou 20 nuggets. D'après un théorème de Schur, comme 6, 9 et 20 sont premiers entre eux dans leur ensemble, tout entier « assez grand » peut être exprimé comme combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de ces trois nombres. Autrement dit : il existe un plus grand nombre qui n'est pas un nombre McNugget — c'est le nombre de Frobenius de l'ensemble {6, 9, 20}.

Mais on peut expliciter complètement cet exemple, sans invoquer le théorème de Schur, en démontrant directement que le plus grand entier qui n'est pas un nombre McNugget est 43 :

• tous les entiers à partir de 44 sont des nombres McNugget car

44 = 6 + 9 + 9 + 20	45 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9	46 = 6 + 20 + 20
47 = 9 + 9 + 9 + 20	48 = 6 + 6 + 9 + 9 + 9 + 9	49 = 9 + 20 + 20

et tout entier plus grand s'obtient en additionnant un certain nombre de 6 à l'une de ces partitions ;

• 43 n'est pas un nombre McNugget^[22] : on ne peut pas obtenir 43 nuggets avec seulement des boîtes de 6 et 9 car le résultat est un multiple de 3. Si l'on prend une seule boîte de 20, on ne peut pas faire mieux parce que les 23 nuggets restants ne forment pas un multiple de 3. Enfin, en prenant deux boîtes de 20, il reste 3 nuggets.

On peut en outre vérifier de même que parmi les 44 nombres de 0 à 43, la moitié ne sont pas des nombres McNugget (leur liste est la suite A065003 de l'OEIS : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 et 43) et trouver des partitions pour ceux de l'autre moitié (y compris pour 0, égal à la somme vide).

Variantes

• Depuis l'introduction d'une boîte Happy Meal de 4 nuggets, le plus grand nombre qui n'est pas McNugget descend à 11.
• Dans certains pays où la boîte de 9 nuggets est remplacée par une boîte de 10, on ne peut obtenir qu'un nombre pair de nuggets, si bien qu'aucun nombre impair n'est un nombre McNugget.

D'autres exemples

En rugby à XV, il y a quatre types de points : le but (3 points), le drop (3 points), l'essai (5 points) et l'essai transformé (7 points). En combinant ces valeurs, tout total est possible sauf 1, 2 et 4.

De même, au football américain, tout résultat est possible dans une partie ordinaire sauf 1 point.