Permutation alternée
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En mathématiques, et plus particulièrement en combinatoire, une permutation alternée (ou permutation en zigzag ) sur l'ensemble est une permutation dont le résultat est tel que chaque terme est alternativement supérieur ou inférieur au terme précédent ; autrement dit, les différences : , ont des signes alternés.
Comme à toute permutation alternée commençant par une montée (), dite "ascendante", correspond une permutation alternée commençant par une descente (définie par ), et réciproquement, on ne considère en général que les permutations ascendantes[1]. Par exemple, pour , les cinq permutations alternées ascendantes ont pour résultats :
- (1, 3, 2, 4) : 1 < 3 > 2 < 4,
- (1, 4, 2, 3) : 1 < 4 > 2 < 3,
- (2, 3, 1, 4) : 2 < 3 > 1 < 4,
- (2, 4, 1, 3) : 2 < 4 > 1 < 3, et
- (3, 4, 1, 2) : 3 < 4 > 1 < 2.
Ce type de permutation a été étudié par Désiré André en 1881[2],[3]. Le problème d'André consiste en la détermination du nombre de permutations alternées ascendantes de longueur . Les nombres sont appelés nombres zigzag. Lorsque est pair, le nombre est dit sécant, et tangent pour impair. Ceci vient de la fonction génératrice exponentielle de la suite qui fait intervenir les fonctions sécante et tangente.