Partie primitive et contenu
pgcd des coefficient d'un polynôme / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
En algèbre, le contenu d'un polynôme non nul à coefficients entiers (ou, plus généralement, à coefficients dans un anneau factoriel) est le plus grand commun diviseur de ses coefficients. La partie primitive d'un tel polynôme est le quotient du polynôme par son contenu. Ainsi, un polynôme est le produit de sa partie primitive et de son contenu, et cette factorisation est unique à un multiple près du contenu par une unité de l'anneau des coefficients (et à la multiplication de la partie primitive par l'inverse de cette unité).
Un polynôme est primitif si son contenu est égal à 1. Ainsi, la partie primitive d'un polynôme est un polynôme primitif.
Le lemme de Gauss pour les polynômes affirme que le produit de polynômes primitifs (ayant des coefficients dans le même anneau factoriel) est aussi primitif. Cela implique que le contenu et la partie primitive du produit de deux polynômes sont respectivement le produit des contenus et le produit des parties primitives.
Comme le calcul des plus grands communs diviseurs est généralement beaucoup plus facile que la factorisation des polynômes, la première étape d'un algorithme de factorisation de polynômes est généralement le calcul de la factorisation en partie primitive et contenu. Ensuite, le problème de factorisation se réduit à factoriser séparément le contenu et la partie primitive.
Le contenu et la partie primitive peuvent être généralisés aux polynômes à coefficients rationnels et, plus généralement, aux polynômes à coefficients dans le corps des fractions d'un anneau factoriel. Cela ramène essentiellement les problèmes de factorisation de polynômes sur les entiers et sur les nombres rationnels à des problèmes de calcul de plus grand commun diviseur entre polynômes (en).