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Contrairement à la méthode des différences finies, qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d'intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis exploite directement la forme dite «forte» de l'équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle de l'équation (on parle aussi de formulation faible).
L'équation aux dérivées partielles est résolue de manière approchée à l’aide d’un maillage constitué de volumes finis, qui sont de petits volumes disjoints en 3D (des surfaces en 2D, des segments en 1D) dont la réunion constitue le domaine d'étude. Les volumes finis peuvent être construits autour de points d'un maillage initial, mais ce n’est pas une nécessité.
Ces équations aux dérivées partielles contiennent des termes de divergence. En utilisant le théorème de flux-divergence, les intégrales de volume d'un terme de divergence sont transformées en intégrales de surface et ces termes de flux sont ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis. On utilise une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces. Puisque le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont conservatives, donc parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation.
Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu'elle est facilement utilisable avec des maillages non structurés car, en matière de discrétisation des lois de conservation, sa formulation ne tient aucun compte de la complexité du maillage. En revanche, les caractéristiques géométriques du maillage peuvent jouer un rôle prépondérant lorsque des flux diffusifs entrent en jeu.
On s'intéresse ici aux lois de conservation, dont la forme générale est la suivante:
à laquelle on ajoute des conditions aux limites et des conditions initiales, et où:
De plus, J est de la forme suivante: . On citera par exemple:
Le flux de convection / transport: , où:
le champ de vecteur donné;
.
Le flux de diffusion: , où:
dans le cas classique;
dans certains cas.
Le flux de convection et diffusion: .
Soit l'ensemble d'espace associé à l'équation aux dérivées partielles qui nous intéresse.
On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite, cette suite définissant un maillage du domaine , soit vérifiant:
un ouvert de ;
;
.
Dimension 1
Maillage d'un segment [A,B] pour la méthode des volumes finis.
Soit .
Les volumes de contrôle forment un maillage de . En dimension 1, les volumes de contrôle sont des réunions d'intervalles ouverts. On considère par exemple comme l'indique la figure ci-contre.
On note l'ensemble des interfaces , les extrémités des volumes de contrôle.
Pour finir, on choisit un point dans chaque volume de contrôle et l'on note l'ensemble de ces points (on peut y ajouter les points et ).
Le maillage est donc la donnée .
Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté et l'on pose .
Dimension supérieure
Exemple d'un maillage triangulaire 2D.
On considère un ouvert borné polyédrique de (polygonal si ).
est toujours l'ensemble des volumes de contrôle .
est l'ensemble des arêtes ou faces (selon la dimension) du maillage. Soit , on a alors:
soit : est alors une arête intérieure ();
soit : est alors une arête du bord ().
On se donne de même que précédemment, une suite de points .
Le maillage de est la donnée .
On pose ici, pour le pas, .
Pour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies, les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles.
L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble défini précédemment.
La solution approchée , avec la méthode des volumes finis, est une solution constante par maille, que l'on reconstruit de la manière suivante:
L'espace des solutions approchées pour le maillage est:
Remarque
En règle générale, l'espace des solutions vérifie:
;
.
Normale sortante à K en sigma.
La méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, la partie temporelle est quant à elle discrétisée par la méthode des différences finies. On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant:
On considère un maillage . La méthode des volumes finis est basée sur l'intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.