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système d'une représentation symbolique des objets mathématiques et des idées De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, les notations sont des ensembles de signes graphiques conventionnels servant à condenser et formaliser les énoncés et les démonstrations. Ces notations se sont dégagées dans de nombreuses cultures au fil de l'évolution des mathématiques, selon les besoins, et de ce fait ne sont pas totalement standardisées : notamment les notations mathématiques latines décrites ci-dessous dans la culture francophone.
Comme tout langage formel, une notation mathématique a pour but de retirer l'ambiguïté (notamment linguistique) d'une proposition en la décomposant en un ensemble de symboles dont l'agencement devrait avoir qu'un unique sens.
Par exemple, pour dire que vaut un, on utilise : .
Ce langage formalisé permet aussi de faciliter la communication entre des mathématiciens ne parlant pas la même langue. S'il ne remplace pas complètement le langage naturel, il permet d'exprimer les concepts mathématiques les plus complexes sous une forme qui est quasi identique suivant de nombreuses langues et cultures, évitant ainsi les quiproquos sur les concepts mathématiques, par des gens ne maîtrisant pas toutes les subtilités grammaticales et syntaxiques de la langue de communication employée.
Au sein même de la famille culturelle utilisant la notation mathématique latine, certains concepts du langage formel restent cependant spécifiques à un bassin linguistique donné. Ainsi, dans la littérature mathématique francophone, l'assertion signifie « l'ensemble A est un sous-ensemble de B ou est égal à B » alors que dans la littérature mathématique anglophone, il signifiera plutôt « l'ensemble A est un sous-ensemble strict de B ».
Un ensemble représente une collection d'objets. Les objets de la collection sont les éléments de l'ensemble.
Un ensemble peut être défini :
L'appartenance est une relation qui lie un élément et un ensemble.
Un ensemble est inclus dans un autre si et seulement si tous ses éléments sont éléments de l'autre.
Voir calcul des prédicats pour un point de vue plus théorique sur ces notations.
, pour tout, quel que soit.
, il existe (au moins un).
L'ordre des quantificateurs est par conséquent important : la première proposition est vraie, l'autre est fausse.
La notation signifie il existe un unique... (ou il existe un et un seul...). Ce quantificateur se définit à partir des quantificateurs précédents et de l'égalité. Pour P(x) une propriété de x :
ou de façon équivalente :
Ces symboles sont utilisés pour simplifier l'écriture de longues séries (par exemple en évitant d'utiliser des pointillés). On utilise dans chacun de ces cas une variable dite variable muette qui va prendre des valeurs dans un ensemble précis. Cette variable muette va alors permettre la description d'un terme générique placé après le symbole.
Par convention, une somme indexée par l'ensemble vide est nulle.
Ce symbole s'utilise de manière analogue au symbole somme.
Par convention, un produit indexé par l'ensemble vide vaut 1.
C'est un cas particulier de produit :
(où n et k sont implicitement supposés entiers).
Autrement dit,
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