Inégalité d'Olech-Opial

En mathématiques, l'inégalité d'Olech-Opial, connue aussi sous le nom d'inégalité d'Opial ou inégalité d'Olech-Opial-Beesack ou inégalité d'Olech-Opial-Levinson, se rencontre dans l'étude des problèmes aux limites en calcul différentiel. Elle porte le nom du mathématicien polonais Czesław Olech.

Énoncé

L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi:

Inégalité d'Olech-Opial — Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,a])}$ où a>0 et tel que ${\displaystyle f(0)=0}$ alors :

${\displaystyle \int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {a}{2}}\int _{0}^{a}f'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.}$

La borne ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ est optimale et atteinte pour f affine.

Démonstration

On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales^[1]. On pose ${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}|f'(t)|\mathrm {d} t}$, de sorte que ${\displaystyle \forall x\in [0,a],|f(x)|\leqslant g(x)}$. Ainsi :

${\displaystyle \int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{a}g(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\frac {g(a)^{2}}{2}}.}$

Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

${\displaystyle g(a)^{2}=\left(\int _{0}^{a}|f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}=\left(\int _{0}^{a}1\times |f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}\leqslant \int _{0}^{a}\mathrm {d} t\times \int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t.}$

ce qui permet de conclure.

Historique

Opial prouve l'inégalité en 1960^[2] et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour f' non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrable^[3],[4]). Beesack^[5] et Levinson^[6] sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.

Applications

L'inégalité d'Olech-Opial et ses variantes sont utilisées dans l'études des solutions d'équations intégro-différentielles et de problèmes aux limites^[7].

Voir aussi

• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Inégalité de Wirtinger