Inégalité d'Olech-Opial

En mathématiques, l'inégalité d'Olech-Opial, connue aussi sous le nom d'inégalité d'Opial ou inégalité d'Olech-Opial-Beesack ou inégalité d'Olech-Opial-Levinson, se rencontre dans l'étude des problèmes aux limites en calcul différentiel. Elle porte le nom du mathématicien polonais Czesław Olech.

Énoncé

L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi:

Inégalité d'Olech-Opial — Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,a])}$ où a>0 et tel que ${\displaystyle f(0)=0}$ alors :

${\displaystyle \int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {a}{2}}\int _{0}^{a}f'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.}$

La borne ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ est optimale et atteinte pour f affine.

Démonstration

On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales^[1]. On pose ${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}|f'(t)|\mathrm {d} t}$, de sorte que ${\displaystyle \forall x\in [0,a],|f(x)|\leqslant g(x)}$. Ainsi :

${\displaystyle \int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{a}g(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\frac {g(a)^{2}}{2}}.}$

Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

${\displaystyle g(a)^{2}=\left(\int _{0}^{a}|f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}=\left(\int _{0}^{a}1\times |f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}\leqslant \int _{0}^{a}\mathrm {d} t\times \int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t.}$

ce qui permet de conclure.

Historique

Opial prouve l'inégalité en 1960^[2] et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour f' non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrable^[3],[4]). Beesack^[5] et Levinson^[6] sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.

Applications

L'inégalité d'Olech-Opial et ses variantes sont utilisées dans l'études des solutions d'équations intégro-différentielles et de problèmes aux limites^[7].

Voir aussi

• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Inégalité de Wirtinger

Références

1. (en) C. Li. Mallows, « An even simpler proof of Opial’s inequality », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 16, n^o 1,‎ 1965, p. 173 (lire en ligne).
2. (en) Z. Opial, « Sur une inégalité », Annales Polonici Mathematici, vol. 8, n^o 1,‎ 1960, p. 29-32
3. (en) C. Olech, « A simple proof of a certain result of Z. Opial », Annales Polonici Mathematici, vol. 8, n^o 1,‎ 1960, p. 61-63
4. (en) John M. Holt, « Integral Inequalities Related to Non-Oscillation Theorems for Differential Equations », Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 13, n^o 3,‎ 1965 (DOI 10.1137/0113050)
5. (en) Paul R. Beesack, « On an integral inequality of Z. Opial », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 104, n^o 3,‎ 1962, p. 470-475
6. (en) N. Levinson, « On an inequality of Opial and Beesack », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 15, n^o 4,‎ 1964, p. 565-566.
7. (en) Ravi P. Agarwal et P. Y. Pang, Opial inequalities with applications in differential and difference equations, vol. 320, Springer Science & Business Media, 2013.

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