Fonction de Liapounov
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Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'un point d'équilibre (ou, plus généralement, d'un mouvement, c'est-à-dire d'une solution maximale) d'une équation différentielle.
Soit une fonction et un système dynamique, avec un point d'équilibre de ce système, c'est-à-dire que .
Par un changement de variable , on peut se ramener au cas où l'origine est un point d'équilibre ().
Une fonction est une fonction candidate de Liapounov si
La dérivée d'une fonction le long du champ de vecteurs est définie par
où désigne le produit scalaire dans l'espace considéré et l'opérateur gradient.
Si une fonction candidate de Liapounov vérifie
on dit que est une fonction de Liapounov.
Il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, si, et seulement si l'origine est un équilibre stable de ce système.
De plus, l'origine est asymptotiquement stable si, et seulement s'il existe une fonction de Liapounov vérifiant
Ce théorème, dû à plusieurs auteurs (Alexandre Liapounov, K. P. Persidsky, José Luis Massera), est l'un des principaux résultats de la théorie de la stabilité de Liapunov ; sa démonstration est donnée au paragraphe « Théorèmes fondamentaux » de l'article détaillé.
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