Fonction L p-adique

En mathématiques, une fonction zêta p-adique, et plus généralement une fonction L p-adique, est une fonction analogue à la fonction zêta de Riemann, ou plus généralement des fonctions L, pour lesquels les ensembles de départ et d'arrivé sont les nombres p-adiques (où p est un nombre premier). Par exemple, l'ensemble de départ peut être l'ensemble des entiers p-adique Z_p, un p-groupe profini, ou une famille de représentations galoisiennes p-adique, et l'image peut être l'ensemble Q_p ou sa clôture algébrique.

La source d'une fonction L p-adique est généralement de deux types. La première — à partir de laquelle Tomio Kubota (en) et Heinrich-Wolfgang Leopoldt ont donné la première construction d'une fonction L p-adique (Kubota et Leopoldt 1964) — est via l'interpolation p-adique des valeurs spéciales des fonctions L (en). Par exemple, Kubota-Leopoldt ont utilisé les congruences de Kummer sur les nombres de Bernoulli pour construire une fonction L p-adique, la fonction zêta de Riemann p-adique ζ_p(s), dont les valeurs aux entiers impairs négatifs sont celles de la fonction zêta de Riemann (à un facteur de correction explicite près). Ces fonctions L p-adiques sont généralement dites fonctions L p-adiques analytiques. L'autre source de fonctions L p-adiques — découverte pour la première fois par Kenkichi Iwasawa — provient de la théorie des corps cyclotomiques, et plus généralement de certains représentation de Galois sur des tours de corps cyclotomiques. Une fonction L p-adique obtenue de cette manière est dite fonction L arithmétique p-adique car elle contient des informations sur le module de Galois donné. La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa (devenu un théorème dû à Barry Mazur et Andrew Wiles) est l'affirmation que la fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt et un analogue arithmétique construit via la théorie d'Iwasawa sont essentiellement les mêmes.

Fonctions L de Dirichlet

Une fonction L de Dirichlet est donnée par le prolongement analytique de

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$.

La fonction L de Dirichlet aux entiers négatifs vaut

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

où B_n,χ sont les nombres de Bernoulli généralisés définis par

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

pour un caractère de Dirichlet χ de conducteur f.

Définition par interpolation

La fonction L p-adique de Kubota–Leopoldt L_p(s, χ) interpole la fonction L de Dirichlet à l'exception du le facteur d'Euler en p. Plus précisément, L_p(s, χ) est l'unique fonction continue du nombre p-adique s telle que

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}$

pour n positif divisible par p − 1. Le terme de droite est la fonction L de Dirichlet usuelle, sans le terme d'ordre p sans quoi le terme de gauche n'aurait pas été continu au sens p-adique. La continuité de ce dernier est étroitement lié aux congruences de Kummer.

Lorsque n n'est pas divisible par p − 1, on pose plutôt

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}$

pour tout n positif. Ici χ multiplié par une puissance du caractère de Teichmüller (en) ω.

Fonction L p-adique comme une mesure p-adique

Les fonctions L p-adique peuvent aussi être vues comme des mesures p-adiques (ou distributions p-adiques) sur des groupes de Galois p-profinis. La transition entre ce point de vue et celui de Kubota-Leopoldt (en tant que fonctions de Z_p dans Q_p) s'effectue par la transformée de Mazur-Mellin (et la théorie des corps de classes).

Corps totalement réels

Deligne & Ribet (1980), s'appuyant sur le travail de Jean-Pierre Serre (1973), ont construit des fonctions L p-adiques sur des corps totalement réels. Indépendamment, Barsky (1978) et Cassou-Noguès (1979) ont fait la même chose, en suivant l'approche de Takuro Shintani concernant l'étude des valeurs L.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic L-function » (voir la liste des auteurs).

• Daniel Barsky, Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), vol. 16, Paris, Secrétariat Math., 1978 (ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346, lire en ligne), « Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels »
• Pierrette Cassou-Noguès, « Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques », Inventiones Mathematicae, vol. 51, n^o 1,‎ 1979, p. 29–59 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911, MR 524276)
• John Coates, « On p-adic L-functions », Astérisque, n^o 177,‎ 1989, p. 33–59 (ISSN 0303-1179, MR 1040567, lire en ligne)
• Pierre Colmez, Fontaine's rings and p-adic L-functions, 2004 (lire en ligne)
• Pierre Deligne et Kenneth A. Ribet, « Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields », Inventiones Mathematicae, vol. 59, n^o 3,‎ 1980, p. 227–286 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237, Bibcode 1980InMat..59..227D, MR 579702)
• Kenkichi Iwasawa, « On p-adic L-functions », Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, vol. 89, n^o 1,‎ 1969, p. 198–205 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970817, JSTOR 1970817, MR 0269627)
• Kenkichi Iwasawa, Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, 1972 (ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526)
• Nicholas M. Katz, Algebraic geometry, vol. 29, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », 1975 (MR 0432649), « p-adic L-functions via moduli of elliptic curves », p. 479–506
• Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 », 1984 (ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003)
• Tomio Kubota et Heinrich-Wolfgang Leopoldt, « Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 214/215,‎ 1964, p. 328–339 (ISSN 0075-4102, MR 0163900, lire en ligne)
• Jean-Pierre Serre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), vol. 350, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Math », 1973 (ISBN 978-3-540-06483-1, DOI 10.1007/978-3-540-37802-0_4, MR 0404145), « Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques », p. 191–268

• Arithmétique et théorie des nombres