- Preuve via une partition de l'unité.
Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π-1(U)→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne gU sur π-1(U).
En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable (Un)n∈ℕ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne gn sur le fibré vectoriel π-1(Un)→Un. Soit (ϕn)n∈ℕ une partition de l'unité subordonnée à (Un)n∈ℕ. L'application x↦ϕn(x)gn(x) est une section globale de S2π-1(Un)→Un nulle au voisinage de la frontière ∂Un. Elle se prolonge par en une section globale de S2E→M, abusivement notée x↦ϕn(x)gn(x).
On pose alors
:
.
C'est une section de
S2E→M, et elle bien définie positive en tout point
de
M : si
appartient à l'intérieur du support de
, et pour tout vecteur non nul
de
,
.
- Preuve via un plongement.
Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.
Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de . Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.