Critère d'irréductibilité de Cohn

En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.

Énoncé

Si un nombre premier p s'écrit en base dix sous la forme

${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq 9}$

alors le polynôme

${\displaystyle a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}}$

est irréductible dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier b ≥ 2, un polynôme de la forme${\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq b-1}$est irréductible dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ dès que P(b) est premier.

Notes historiques

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn^[1] – un étudiant d'Issai Schur^[2] – par Pólya et Szegő^[3] et sa généralisation à une base quelconque b ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko^[4].

En 2002, M. Ram Murty a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème^[5], démontrant également la variante suivante : Soit ${\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} _{m}[X]}$ et ${\displaystyle H=\max _{0\leq i<m}|a_{i}/a_{m}|}$. S'il existe un entier b ≥ H + 2 tel que P(b) est premier, alors P est irréductible sur ℤ.

Démonstration

Raisonnons par contraposition, en supposant P réductible et en montrant qu'alors, pour tout entier b ≥ H + 2, P(b) est composé.

Soient donc ${\displaystyle Q,R\in \mathbb {Z} [X]\setminus \{-1,0,1\}}$ tels que P = QR.

• Si Q n'est pas constant alors ${\displaystyle Q=c\prod _{i}(X-\alpha _{i})}$ avec, puisque chaque ${\displaystyle \alpha _{i}}$ est une racine de P, ${\displaystyle |\alpha _{i}|<H+1}$ (cf. Racine d'un polynôme réel ou complexe#Une première estimation) donc ${\displaystyle |Q(b)|\geq \prod _{i}(b-|\alpha _{i}|)>\prod _{i}(H+2-H-1)=1}$.
• Si Q est constant alors ${\displaystyle Q\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}}$ et l'on a évidemment encore |Q(b)| > 1.

Même raisonnement pour R, donc P(b) = Q(b)R(b) avec |Q(b)|, |R(b)| > 1.