Un espace dont le tenseur de Ricci s'annule est parfois dit Ricci-plat[17].
Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann , qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.
Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.
Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe – qui n'est pas toujours une ligne droite:
Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel:
Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction (attention à l'ordre des indices):
Par la suite, la courbure scalaire se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction:
Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions[19].
où et sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire des coordonnées cartésiennes locales. Le tenseur de Ricci est formé, en fonction de la métrique inverse indices supérieurs) et du tenseur de Riemann dit «entièrement covariant», (indices inférieurs), , par la relation générale
Tenseur de Ricci
et sont les éléments de la métrique inverse de la métrique directe, également diagonale. La convention d’Einstein consiste à supprimer le signe Σ, avec quelques restrictions. En deux dimensions ces relations s’explicitent en:
Le tenseur de Ricci d’une surface de métrique diagonale a donc deux composantes différentes bien que celui de Riemann n’en ait qu’une seule, non nulle et au signe près.
[Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] M. P. Hobson, G. P. Efstathiou et A. N. Lasenby (trad.de l'angl. amér. par L. Villain, rév. par R. Taillet), Relativité générale [«General relativity: an introduction for physicists»], Bruxelles, De Boeck Univ., coll.«Physique», , 1reéd., 1 vol., XX-554, ill., 28 cm (ISBN978-2-8041-0126-8, EAN9782804101268, OCLC690272413, BNF42142174, SUDOC140535705, présentation en ligne, lire en ligne), chap.7 («Principe d'équivalence et courbure de l'espace-temps»), §7.11 («Tenseur de Ricci et courbure scalaire»), p.159-160.