Constante d'Erdős-Tenenbaum-Ford

La constante d’Erdős–Tenenbaum–Ford est une constante mathématique qui intervient en théorie des nombres^[1]. Portant le nom des mathématiciens Paul Erdős, Gérald Tenenbaum et Kevin Ford, elle est définie par

${\displaystyle \delta$ :=1-{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}=0.0860713320\dots }

où ${\displaystyle \log }$ est ici le logarithme népérien.

Problème de la table de multiplication

Pour tout entier positif ${\displaystyle N}$, soit ${\displaystyle M(N)}$ le nombre d’entiers distincts dans une table de multiplication ${\displaystyle N\times N}$. En 1960, Erdős a étudié le comportement asymptotique de ${\displaystyle M(N)}$ et il a prouvé que

${\displaystyle M(N)={\frac {N^{2}}{(\log N)^{\delta +o(1)}}},}$

lorsque ${\displaystyle N}$ tend vers l’infini^[2].

Diviseurs

Après un travail antérieur de Tenenbaum, Ford a utilisé cette constante pour analyser le nombre ${\displaystyle H(x,y,z)}$ d’entiers qui sont inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$ et ont au moins un diviseur compris entre ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$^[3],[4],[5].

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Tenenbaum–Ford constant » (voir la liste des auteurs).

1. Florian Luca et Carl Pomerance, « On the range of Carmichael's universal-exponent function », Acta Arithmetica, vol. 162, n^o 3,‎ 2014, p. 289–308 (DOI 10.4064/aa162-3-6, MR 3173026, lire en ligne).
2. Paul Erdős, « An asymptotic inequality in the theory of numbers », Vestnik Leningrad. Univ., vol. 15,‎ 1960, p. 41–49 (MR 0126424).
3. Gérald Tenenbaum, « Sur la probabilité qu'un entier possède un diviseur dans un intervalle donné », Compositio Mathematica, vol. 51, n^o 2,‎ 1984, p. 243–263 (MR 739737, lire en ligne).
4. (en) Kevin Ford, « The distribution of integers with a divisor in a given interval », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 168, n^o 2,‎ 2008, p. 367–433 (DOI 10.4007/annals.2008.168.367 , MR 2434882, arXiv math/0401223).
5. Dimitris Koukoulopoulos, « Divisors of shifted primes », International Mathematics Research Notices, vol. 2010, n^o 24,‎ 2010, p. 4585–4627 (MR 2739805, S2CID 7503281).

Lien externe

• Constante d'Erdős–Tenenbaum–Ford sur la base OEIS.

• Arithmétique et théorie des nombres