Constante d'Erdős-Tenenbaum-Ford

La constante d’Erdős–Tenenbaum–Ford est une constante mathématique qui intervient en théorie des nombres^[1]. Portant le nom des mathématiciens Paul Erdős, Gérald Tenenbaum et Kevin Ford, elle est définie par

${\displaystyle \delta$ :=1-{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}=0.0860713320\dots }

où ${\displaystyle \log }$ est ici le logarithme népérien.

Problème de la table de multiplication

Pour tout entier positif ${\displaystyle N}$, soit ${\displaystyle M(N)}$ le nombre d’entiers distincts dans une table de multiplication ${\displaystyle N\times N}$. En 1960, Erdős a étudié le comportement asymptotique de ${\displaystyle M(N)}$ et il a prouvé que

${\displaystyle M(N)={\frac {N^{2}}{(\log N)^{\delta +o(1)}}},}$

lorsque ${\displaystyle N}$ tend vers l’infini^[2].

Diviseurs

Après un travail antérieur de Tenenbaum, Ford a utilisé cette constante pour analyser le nombre ${\displaystyle H(x,y,z)}$ d’entiers qui sont inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$ et ont au moins un diviseur compris entre ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$^[3],[4],[5].