Loading AI tools
mathématiques, topologie De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, l'ensemble de toutes les topologies possibles sur un ensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cette relation d'ordre permet de comparer les différentes topologies.
Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X.
On dit que τ2 est plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est moins fine que τ2) et on note τ1 ⊆ τ2 si l'application identité idX : (X, τ2) → (X, τ1) est continue.
Si de plus τ1 ≠ τ2, on dit que τ2 est strictement plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est strictement moins fine que τ2).
La relation binaire ⊆ définit une relation d'ordre partiel sur l'ensemble de toutes les topologies possibles sur X.
La topologie la plus fine sur X est la topologie discrète ; dans cette topologie, tous les sous-ensembles sont ouverts. La topologie la plus faible sur X est la topologie grossière ; cette topologie admet uniquement l'ensemble vide et l'ensemble tout entier comme ouverts.
Dans les espaces de fonctions et les espaces de mesures, il existe un grand nombre de topologies possibles. Par exemple, l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle unité [0, 1] peut être doté de la topologie de la convergence simple ou de topologie de la convergence uniforme : la seconde est plus fine que la première.
Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X. Les propositions suivantes sont équivalentes :
On a deux corollaires immédiats :
On peut également comparer des topologies en utilisant des bases de voisinages. Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X et soient Bi(x) une base locale de voisinages pour la topologie τi en x ∈ X pour i = 1,2. Alors τ1 ⊆ τ2 si et seulement si pour tout x ∈ X, chaque ouvert U1 dans B1(x) contient un ouvert U2 dans B2(x). Intuitivement, cela signifie qu'une topologie plus fine doit avoir de plus « petits » voisinages.
L'ensemble de toutes les topologies sur un ensemble X muni de la relation d'ordre partiel ⊆ forme un treillis complet. Toute collection de topologies sur X possède une borne inférieure et une borne supérieure. La borne inférieure d'une collection de topologies est l'intersection de ces topologies. La borne supérieure, cependant, n'est généralement pas l'union de ces topologies (l'union de deux topologies n'est pas une topologie) mais la topologie engendrée par l'union.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.