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En mathématiques, les classes de Pontriaguine sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels, nommées d'après Lev Pontriaguine. Les classes de Pontriaguine appartiennent aux groupes de cohomologie de degré un multiple de quatre.
Soit E un fibré vectoriel réel au-dessus de M. La k-ième classe de Pontriaguine pk(E) est définie par :
où
La classe totale de Pontriaguine est définie par
La classe de Pontriaguine rationnelle pk(E, ℚ) est définie comme étant l'image de pk(E) dans H4k(M, ℚ), le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients rationnels.
où est le cup-produit.
C'est-à-dire, pour les classes de Pontriaguine pk,
Les classes de Pontriaguine d'une variété lisse sont définies comme étant les classes de Pontriaguine de son fibré tangent.
Sergueï Novikov a montré en 1966 que si deux variétés sont homéomorphes alors leurs classes de Pontriaguine rationnelles sont égales.
Les nombres de Pontriaguine sont des invariants topologiques d'une variété lisse. Ils sont définis à l'aide des classes de Pontriaguine :
soit M une variété lisse de dimension 4n et k1, k2, ..., km des entiers naturels tels que k1+k2+...+km = n.
Les nombres de Pontriaguine sont définis par :
où pk est la k-ième classe de Pontriaguine et [M] est la classe fondamentale (en) de M.
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