Cercles d'Apollonius
ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport MA/MB des distances à deux points reste constant De Wikipédia, l'encyclopédie libre
ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport MA/MB des distances à deux points reste constant De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie, le nom de cercles d'Apollonius a été donné à plusieurs configurations différentes.
Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.
Définition — Si A et B sont deux points distincts et k est un réel strictement positif différent de 1, le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k est l'ensemble des points M du plan tels que
Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :
On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz ; si est le barycentre de et , le lieu est le cercle de centre et de rayon .
Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.
Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.
Les bissectrices en A coupent [BC] en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].
Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c1, c2 et c3 d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.
Leurs centres O1, O2 et O3 sont alignés sur la médiatrice de [PQ].
Le centre O du cercle circonscrit c et le point de Lemoine du triangle ABC sont situés sur la droite (PQ).
Les points Q (X15) et P (X16) sont les points isodynamiques du triangle ABC. Ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat (X14 et X13)
Le problème d'Apollonius, ou problème des contacts consiste à déterminer les cercles tangents à trois cercles donnés. En partant de trois cercles tangents deux à deux, et en itérant, on obtient une figure fractale ; voir : Cercles d'Apollonius (fractale).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.