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automorphisme lié à la conjugaison dans un groupe De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.
Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par :
Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.
Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.
Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.
L'application est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif induit un isomorphisme :
Si est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors :
d'où
Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De ce fait, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).
Pour résumer, on dispose donc de deux suites exactes :
et
Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G) ; ce sont les automorphismes extérieurs de G.
Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif . La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.
La composition par donne un morphisme , dont le noyau est le centralisateur de H.
Un automorphisme d'anneau unifère est dit intérieur s'il est de la forme x ↦ uxu−1 pour une certaine unité u de l'anneau.
Le fait que le groupe des automorphismes intérieurs d'un groupe G est sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G a été énoncé et démontré par Otto Hölder en 1895[1].
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