Arc tangente intégral

En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction ${\displaystyle {\frac {\arctan t}{t}}}$.

Graphe de la fonction arc tangente intégral.

Définition

La fonction arc tangente intégral est définie par :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,\mathrm {d} t}$

La fonction arc tangente (${\displaystyle \arctan }$) est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan t<{\frac {\pi }{2}}}$ pour tout nombre réel ${\displaystyle t}$^[1].

Histoire et notations

Spence (1809)^[2] a étudié la fonction en utilisant la notation ${\displaystyle {\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)}$. La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan^[3].

La notation ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}}$ (et plus généralement ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}}$, cf. « Généralisation ») est due à Lewin.

Propriétés

La fonction arc tangente intégral est impaire^[1] :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)}$

Les valeurs de ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ et ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(1/x)}$ sont reliées par l'identité :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\ln x}$,

vraie pour tout ${\displaystyle x>0}$ (ou, plus généralement, pour ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)>0}$). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité ${\displaystyle \arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2}$^[3],[4].

La valeur particulière ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(1)}$ donne la constante de Catalan ${\displaystyle K=\beta (2)=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0,915966}$^[4].

Relation avec d'autres fonctions

Développement en série

La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots }$,

qui est absolument convergente pour ${\displaystyle |x|\leq 1}$^[1].

Relation avec le dilogarithme

L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$, et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left[\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} z)-\operatorname {Li} _{2}(-\mathrm {i} z)\right]}$

Ainsi^[1] :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} x)).}$

Relation avec la fonction chi de Legendre

L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre ${\displaystyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots }$ par^[1] :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=-\mathrm {i} \,\chi _{2}(\mathrm {i} x)}$

On peut remarquer que ${\displaystyle \chi _{2}(x)}$ peut s'exprimer à partir de l'intégrale ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,\mathrm {d} t}$, similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.

Relation avec la fonction zêta de Lerch

L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch ${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}}$ :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\,\Phi (-x^{2},2,{\frac {1}{2}})}$

Généralisation

De façon similaire au polylogarithme ${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}$, la fonction :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots }$

est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence^[5] :

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)}$, où ${\displaystyle \beta (s)}$ représente la fonction bêta de Dirichlet.