En physique mathématique , l'équation de Korteweg–de Vries (KdV en abrégé) est un modèle mathématique pour les vagues en faible profondeur. C'est un exemple très connu d'équation aux dérivées partielles non linéaire dont on connait exactement les solutions. Ces solutions comprennent (mais ne se limitent pas à) des solitons . Ces solutions peuvent se calculer par la transformation de diffusion inverse (même principe que la résolution de l'équation de la chaleur ). C'est un exemple d'équation aux dérivées partielles dispersive .
Résultat d'une simulation numérique de l'équation de Korteweg-de Vries. On y observe la collision de deux solitons. L'équation porte le nom de Diederik Korteweg et Gustav de Vries qui l'ont étudiée[1] Joseph Boussinesq auparavant[2]
C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire et dispersive pour une fonction φ de deux variables réelles , x et t :
∂
t
φ
+
∂
x
3
φ
+
6
φ
∂
x
φ
=
0
{\displaystyle \partial _{t}\varphi +\partial _{x}^{3}\varphi +6\varphi \partial _{x}\varphi =0}
où ∂x et ∂t représentent les dérivées partielles par rapport à x et t .
Une vague scélérate est une vague océanique très haute, modélisable comme solution particulière d’équations non linéaires, telles que l’équation de l’onde de Boussinesq ou l’équation de Korteweg–de Vries.
Il existe de nombreuses variantes à l'équation d'onde KdV. En particulier, on peut lister les équations suivantes.
Davantage d’informations
Nom
Équation
Korteweg–de Vries (KdV)
∂
t
φ
+
∂
x
3
φ
+
6
φ
∂
x
φ
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}\varphi +\partial _{x}^{3}\varphi +6\,\varphi \,\partial _{x}\varphi =0}
KdV (cylindrique)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
−
6
u
∂
x
u
+
u
/
2
t
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,u\,\partial _{x}u+u/2t=0}
KdV (déformée)
∂
t
u
+
∂
x
(
∂
x
2
u
−
2
η
u
3
−
3
u
(
∂
x
u
)
2
/
2
(
η
+
u
2
)
)
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}(\partial _{x}^{2}u-2\,\eta \,u^{3}-3\,u\,(\partial _{x}u)^{2}/2(\eta +u^{2}))=0}
KdV (généralisée)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
=
∂
x
5
u
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}
Équation de Korteweg–de Vries généralisée (en)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
+
∂
x
f
(
u
)
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}
Équation de Korteweg–de Vries (7e ordre de Lax)
∂
t
u
+
∂
x
{
35
u
4
+
70
(
u
2
∂
x
2
u
+
u
(
∂
x
u
)
2
)
+
7
[
2
u
∂
x
4
u
+
3
(
∂
x
2
u
)
2
+
4
∂
x
∂
x
3
u
]
+
∂
x
6
u
}
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}&\left\{35u^{4}+70\left(u^{2}\partial _{x}^{2}u+u\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right)\right.\\&\left.\quad +7\left[2u\partial _{x}^{4}u+3\left(\partial _{x}^{2}u\right)^{2}+4\partial _{x}\partial _{x}^{3}u\right]+\partial _{x}^{6}u\right\}=0\end{aligned}}}
Équation modifiée de Korteweg–de Vries
∂
t
u
+
∂
x
3
u
±
6
u
2
∂
x
u
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6\,u^{2}\,\partial _{x}u=0}
KdV (modifiée modifiée)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
−
(
∂
x
u
)
3
/
8
+
(
∂
x
u
)
(
A
e
a
u
+
B
+
C
e
−
a
u
)
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(\partial _{x}u)^{3}/8+(\partial _{x}u)(A\mathrm {e} ^{au}+B+C\mathrm {e} ^{-au})=0}
KdV (sphérique)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
−
6
u
∂
x
u
+
u
/
t
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,u\,\partial _{x}u+u/t=0}
Super équation de Korteweg–de Vries
∂
t
u
=
6
u
∂
x
u
−
∂
x
3
u
+
3
w
∂
x
2
w
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u=6\,u\,\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3\,w\,\partial _{x}^{2}w}
∂
t
w
=
3
(
∂
x
u
)
w
+
6
u
∂
x
w
−
4
∂
x
3
w
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}w=3\,(\partial _{x}u)\,w+6\,u\,\partial _{x}w-4\,\partial _{x}^{3}w}
KdV (de transition)
∂
t
u
+
∂
x
3
u
−
6
f
(
t
)
u
∂
x
u
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,f(t)\,u\,\partial _{x}u=0}
KdV (à coefficients variables)
∂
t
u
+
β
t
n
∂
x
3
u
+
α
t
n
u
∂
x
u
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta \,t^{n}\,\partial _{x}^{3}u+\alpha \,t^{n}u\,\partial _{x}u=0}
Équation de Korteweg–de Vries–Burgers
∂
t
u
+
μ
∂
x
3
u
+
2
u
∂
x
u
−
ν
∂
x
2
u
=
0
{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \,\partial _{x}^{3}u+2\,u\,\partial _{x}u-\nu \,\partial _{x}^{2}u=0}
Fermer
D. J. Korteweg et G. de Vries , « On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves », Philosophical Magazine , vol. 39, 1895 , p. 422–443 J. Boussinesq , « Essai sur la théorie des eaux courantes », Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences de l'Institut de France, XXIII , 1877 , p. 1–680 (présentation en ligne , lire en ligne ) 
, 
...
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}&\left\{35u^{4}+70\left(u^{2}\partial _{x}^{2}u+u\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right)\right.\\&\left.\quad +7\left[2u\partial _{x}^{4}u+3\left(\partial _{x}^{2}u\right)^{2}+4\partial _{x}\partial _{x}^{3}u\right]+\partial _{x}^{6}u\right\}=0\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4db85a85063a6701d1e3a4f86a9367177e79b07)
