Pistemääräfunktio

Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion ${\displaystyle L(\theta ;X)}$ logaritmin derivaattaa. Pistemääräfunktio ilmaisee uskottavuusfunktion riippuvuutta parametrista ${\displaystyle \theta }$.

Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin ${\displaystyle \theta }$ suurimman uskottavuuden estimaatti.

Määritelmä

Olkoon otos ${\displaystyle X}$ ja sen uskottavuusfunktio ${\displaystyle L(\theta ;X)}$. Tällöin pistemääräfunktio ${\displaystyle V}$ voidaan löytää ketjusäännön avulla:

${\displaystyle V\equiv V(\theta ,X)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}$

Ominaisuuksia

Keskiarvo

Pistemääräfunktion ${\displaystyle V}$ odotusarvo havainnoilla ${\displaystyle x}$, parametrilla ${\displaystyle \theta }$ on nolla. Tämä voidaan havaita kirjoittamalla uskottavuusfunktio ${\displaystyle L(\theta ;x)=f(x;\theta )}$ tiheysfunktiona,

${\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx}$

mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:

${\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}$

Varianssi

Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}$. Koska pistemääräfunktion odotusarvo on nolla, voidaan Fisher-informaatio esittää muodossa:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}$

Katso myös

• Ronald Fisher

Lähteet

• Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
• Schervish, Mark J.: Theory of Statistics, s. kappale 2.3.1. New York: Springer, 1995. ISBN 0-387-94546-6