Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin

Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin, eli Kendallin tau on ei-parametrinen tilastollinen tunnusluku kahden järjestysasteikollisen suureen välisen korrelaation mittaamiseen. Testin kehitti Maurice Kendall, vuonna 1938.^[1]

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})}$ havaintoja muuttujien ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ yhteisjakaumasta. Parit ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ja ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ ovat samansuuntaisia, mikäli ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ ja ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$, tai ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ ja ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$. Muuten parit ovat vastakkaissuuntaisia. Määritelmän mukaan mikäli ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ tai ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$ parit eivät ole vastakkais- eivätkä samansuuntaisia.

Kendallin tau-järjestyskorrelaatiokerroin on

${\displaystyle \tau ={\frac {n_{s}-n_{v}}{n_{0}}},}$^[2]

missä

${\displaystyle n_{s}={\text{samansuuntaisten parien lukumäärä}}}$

${\displaystyle n_{v}={\text{vastakkaissuuntaisten parien lukumäärä}}}$

${\displaystyle n_{0}=n(n-1)/2{\text{ (parien lukumäärä yhteensä)}}}$.

Näin ollen taun kertoimen arvo on välillä ${\displaystyle -1\leq \tau \leq 1}$.

Merkitsevyyden testaaminen

Kendallin järjestyskorrelaatiokerrointa voidaan käyttää testisuureena testaamaan hypoteesia kahden muuttujan välisestä riippuvuudesta. Testi ei vaadi oletuksien muuttujien ${\displaystyle X}$ tai ${\displaystyle Y}$ jakaumista tai näiden yhteisjakaumasta.

Nollahypoteesin ollessa voimassa (muuttujien ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ollessa riippumattomia) korrelaatiokertoimen ${\displaystyle \tau }$ otosjakauman odotusarvo on nolla. Tarkkaa jakaumaa ei voida ilmaista yleisesti tunnettujen jakaumien avulla, mutta se on laskettavissa otoskokojen ollessa pieniä. Suurille otoskoille voidaan käyttää approksimaatiota normaalijakaumasta keskiarvolla nolla ja varianssilla

${\displaystyle {\frac {2(2n+5)}{9n(n-1)}}}$.^[3]

Tasatulokset

Tilanteessa, jossa muuttujien järjestysluvuissa esiintyy tasatuloksia eli sidoksia voidaan tunnusluvusta käyttää versioita, joissa tasatulokset on otettu huomioon.^[4]

Lähteet

1. Kendall, M.: A New Measure of Rank Correlation. Biometrika, 1938, 30. vsk, nro 1–2, s. 81–89. doi:10.1093/biomet/30.1-2.81 JSTOR:2332226
2. Nelsen, R.B.: Kendall tau metric. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
3. Prokhorov, A.V.: Kendall coefficient of rank correlation. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
4. Agresti, A.: Analysis of Ordinal Categorical Data. Second painos. New York: John Wiley & Sons, 2010.

Aiheesta muualla

• Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, menetelmäopetuksen tietovaranto