From Wikipedia, the free encyclopedia
Matematiikassa hila on osittain järjestetty joukko (kutsutaan myös posetiksi englanninkielisen termin "partially ordered set" mukaan), jossa jokaisella kahdella alkiolla on yksikäsitteiset supremum (alkioiden pienin yläraja); ja infimum (suurin alaraja). Hilat voidaan myös määritellä algebrallisina struktuureina, jotka toteuttavat tietyt aksiomaattiset ehdot. Koska nämä kaksi määritelmää ovat yhtäpitävät, niin hilateoriaa voidaan tutkia sekä järjestysteoreettiselta että algebralliselta kannalta.
Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa. |
Osittain järjestetty joukko (L, ≤) on hila, jos se toteuttaa kaksi seuraavaa aksioomaa.
Koska ja ovat olemassa kaikille alkioille , niin tällöin and ovat binäärisiä laskutoimituksia.
Algebrallinen struktuuri (L, ), jossa L on joukko ja , sekä ovat laskutoimituksia joukossa L, on hila, jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla alkioilla .
|
|
|
Seuraavaksi esitettävät idempotenttisuuslait usein lisätään edellä olevaan määritelmään, vaikka niiden tulokset seuraavat absorptiolaeista.
Hilojen algebrallista esitystapaa käytetään paljon universaalialgebrassa.
Järjestysteoreettisesti määritelty hila määrittelee kaksi binääristä laskutoimitusta ja . Koska vaihdanta-, liitäntä- ja absorptiolait voidaan helposti todistaa näille laskutoimituksille, niin (L, , ) on hila algebralliselta näkökannalta. Järjestys voidaan palauttaa algebrallisesta struktuurista sillä a ≤ b jos ja vain jos a = a∧b.
Käänteinen on myös totta. Olkoon (L, , ) hila, ja määritellään relaatio ≤ joukossa L ehdosta
kaikille . Absorptiolakien nojalla molemmat määritelmät ovat yhtäpitäviä. Nyt voidaan todistaa, että relaatio ≤ on osittainen järjestys ja että ja .
Koska eri määritelmät ovat yhtäpitäviä, voidaan puhua joko hilasta (L,≤) tai hilasta (L, , ) riippuen käyttötarkoituksesta.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.