Banachin kiintopistelause

Banachin kiintopistelause on täydellisiin avaruuksiin liittyvä matemaattinen lause. Se on tärkeä työkalu metristen avaruuksien teoriassa, sillä se takaa tiettyjen kuvausten kiintopisteiden olemassaolon ja tarjoaa metodin noiden kiintopisteiden määrittämiseksi. Lause on nimetty matemaatikko Stefan Banachin mukaan (1892–1945); Banach esitti lauseen ensimmäisen kerran vuonna 1922.

Lause

Olkoon (X, d) epätyhjä täydellinen metrinen avaruus ja olkoon f : X → X avaruuden X kontraktio; toisin sanoen on olemassa reaaliluku ${\displaystyle 0\leq q<1}$ siten, että

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq q\cdot d(x,y)}$

kaikilla x, y ${\displaystyle \in }$ X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste a (kiintopiste on piste, jolle f(a) = a). Lisäksi kyseinen kiintopiste voidaan löytää seuraavasti: olkoon x₀ avaruuden X mielivaltainen piste. Määritellään lukujono x_n = f(x_n-1), n = 1, 2, 3, ...; toisin sanoen kyseessä on jono f(x₀), f(f(x₀)), f(f(f(x₀))), ... Tämä jono suppenee kohti kiintopistettä a.

Todistus

Banachin kiintopistelauseen todistus pääpiirteissään:

• Osoitetaan, että kiintopisteitä on enintään yksi: oletetaan, että X:n kontraktiolla f on kaksi kiintopistettä a ja b. Tällöin pätee

${\displaystyle \quad d(a,b)=d(f(a),f(b))\leq qd(a,b)}$, missä ${\displaystyle 0\leq q<1}$. Siis d(a, b) = 0 eli a = b.

• Olkoon nyt ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Tarkastellaan jonoa ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, jossa ${\displaystyle \quad x_{n+1}=f(x_{n})}$. Voidaan osoittaa, että tämä jono on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, jono (x_n) suppenee kohti jotakin pistettä a. f:n jatkuvuuden nojalla f(x_n) → f(a). Toisaalta ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$, joten f(x_n) → a. Siis f(a) = a, eli a on kuvauksen f kiintopiste. □