From Wikipedia, the free encyclopedia
Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1. Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön
ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.
Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikköjuuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärkipisteet, kun yksi kärkipisteistä on pisteessä 1. Yksikköjuurten arvot voidaan esittää muodossa
missä luku k saa kaikki kokonaislukuarvot 0:sta n-1:een. Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan
Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa
Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua
Sille käytetään myös merkintää .
Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö
missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0). Kun q voidaan aina esittää muodossa
ovat yhtälön ratkaisut
Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksitasoon piirretyn neliön kärkipisteissä. Kolmannen yksikköjuuren (ε3k) arvot ovat
1 sekä ,
jotka muodostavat tasasivuisen kolmion. Kuudennen yksikköjuuren (ε6k) vastaavasti
1 ja -1 sekä
, ja kahdeksannen (ε8k)
1, i, -1 ja -i sekä .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.