Geometrinen konstruktiotehtävä
From Wikipedia, the free encyclopedia
Geometrisella konstruktiotehtävällä tarkoitetaan geometriassa tehtävää, jossa on annettu jokin alkuehto, josta lähtien pitää harpin ja viivaimen avulla käyttämällä konstruoida eli tiettyjä täsmällisiä sääntöjä noudattaen piirtää jokin kuvio.
Geometrisessa konstruktiossa käytettävät harppi ja viivain ovat idealisoituja työkaluja, joiden käyttäminen vastaa Eukleideen ensimmäisten kolmen aksiooman soveltamista. Täsmällisemmin sanottuna oletetaan:
- Minkä tahansa kahden pisteen väliin voidaan piirtää jana
- Mikä tahansa jana voidaan jatkaa suoraksi. Viivaimella ei voi mitata etäisyyksiä (katso kuitenkin edempänä neusis-konstruktioista).
- Mikä tahansa annettu piste keskipisteenä ja annettujen kahden pisteen välinen etäisyys säteenä voidaan piirtää ympyrä.
Viivainta ei siis käytetä janojen mittaamiseen, mutta etäisyyden siirtäminen harpilla on helppo tehtävä. Italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni osoitti vuonna 1797, että kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot voi tehdä pelkällä harpilla (Mohrin–Mascheronin lause).
Geometriset konstruktiot askarruttivat jo antiikin matemaatikoita. Esimerkiksi Eukleideen Elementa-teoksessa esitetään suuri joukko konstruktiotehtäviä ja niiden ratkaistut. On kuitenkin osoittautunut, että kaikkia tällaisia tehtäviä ei voida ratkaista pelkästään harpilla ja viivaimella. Sen tutkiminen, mitkä tehtävät voidaan näin ratkaista ja mitkä ei, johti lopulta 1800-luvulla abstraktin algebran kehittymiseen.