tasokäyrä From Wikipedia, the free encyclopedia
Cassinin käyrä on tasokäyrä, niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien tulo kahdesta kiinteästä pisteestä lukien on tietty vakio.[1] Määritelmä muistuttaa ellipsin määritelmää, jossa kuitenkin näiden etäisyyksien summa on vakio, ei tulo. Cassinin käyrä on saanut nimensä tähtitieteilijä Giovanni Domenico Cassinin mukaan[1], joka tutki tällaisia käyriä vuonna 1680[2].
Olkoot q1 ja q2 kaksi kiinteää pistettä tasossa ja b jokin vakio. Tällöin Cassinin käyrä, jonka polttopisteet ovat q1 ja q2, määritellään niiden pisteiden p uraksi, joiden etäisyyksien tulo pisteistä q1 ja q2 on b2. Jos siis funktio dist(x,y) määritellään pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi, kaikki Cassinin käyrän pisteet toteuttavat yhtälön
Yksinkertaisimmassa tapauksessa Cassinin käyrän molemmat polttopisteet ovat suorakulmaisen koordinaatiston x-akselilla samalla etäisyydellä origosta. Jos tämä etäisyys on a, nämä pisteet ovat (a, 0) ja (-a, 0). Tällöin käyrän yhtälö on
Tämä voidaan sieventää muotoon
Cassinin käyrä on siis neljännen asteen käyrä.
Napakoordinaatistossa yhtälö on
Käyrän muoto riippuu suhteesta e=b/a. Kaikki Cassinin käyrät, joilla tämä suhde on yhtä suuri, ovat yhdenmuotoisia.
Jos e on suurempi kuin 1, käyrä on yksiosainen silmukka, joka sulkee sisäänsä molemmat polttopisteet. Käyrä on lisäksi kupera, jos e on suurempi kuin ; muussa tapauksessa sen sisään jäävä alue on keskeltä kapeampi kuin polttopisteiden kohdalla.[3].
Jos e on pienempi kuin 1, käyrä muodostuu kahdesta erillisestä silmukasta, joista kumpikin sulkee sisäänsä yhden polttopisteen. Jos e=1 eli b=a, käyrä leikkaa itsensä origossa. Tämä Cassinin käyrän erikoistapaus tunnetaan myös Bernoullin lemniskaattana, ja sen yhtälö yksinkertaistuu muotoon
Rajatapauksessa, kun a → 0 (ja e → ), käyrä lähestyy muodoltaan ympyrää
eli yksinkertaisemmin
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.