From Wikipedia, the free encyclopedia
Bayesiläinen tilastotiede eli Bayes-tilastotiede on frekventistisen eli klassisen tilastotieteen ohella tilastotieteen toinen suuri paradigma. Se perustuu Bayesin kaavan soveltamiseen. Bayesiläisessa tilastotieteessä ajatellaan, että havainnot tunnetaan, joten ne ovat kiinteitä, ja todellisuus on tuntematon, johon liittyy epävarmuutta. Tarkoituksena on laskea posterioritodennäköisyyksiä siten, että otetaan huomioon sekä ennakkotieto että havaintoaineiston informaatio. Bayesiläinen tilastotiede juontaa juurensa 1700-luvulle[1], mutta sen käyttö alkoi yleistyä vasta 1900-luvun lopussa tietokoneiden kehityttyä riittävästi. Sitä mukaa myös itse ajattelutapa ja sen sovellukset ovat kehittyneet. Sekä Bayes-tilastotiede että Bayesin kaava ovat saaneet nimensä englantilaiselta harrastelijamatemaatikko ja presbyteeripappi Thomas Bayesiltä, jota pidetään Bayes-päättelyn esi-isänä.
Bayesin kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:
missä
Tapahtumat A ja B voisivat esimerkiksi olla seuraavia väitelauseita: B = ”Suomalaiset miehet ovat pitempiä kuin ruotsalaiset” ja A = ”Kun tutkitaan 5 suomalaista ja 5 ruotsalaista, kaikki ruotsalaiset ovat pidempiä”. Bayesiläisessä tilastotieteessä voidaan tällöin tehdä laskelmia siitä todennäköisyydestä että B on totta, kun A havaitaan.
Bayesiläisessä tilastotieteessä käytetään usein Bayesin kaavasta johdettua kaavaa p(x|y) = p(y|x)p(x) / p(y). Tämä kaava on voimassa tietyt säännöllisyysehdot toteuttavilla satunnaismuuttujilla x ja y. Kaavassa p on geneerinen jakaumasymboli, joka voidaan tulkita esimerkiksi tiheysfunktioksi tai pistetodennäköisyysfunktioksi.
Edellisen kaavan avulla pyritään tekemään tilastollisia päätelmiä ei-havaittavasta muuttujasta x havaittavan muuttujan y perusteella. Ehdollistettua jakaumasymbolia p(x|y) sanotaan x:n posterioriksi. Jakaumasymboli p(y|x) on likelihood (joskus myös otantajakauma, otantamalli), jota käytetään myös klassisen tilastotieteen uskottavuuspäättelyssä. Jakaumasymboli p(x) on puolestaan x:n priori. Tekijä 1/p(y) ei vaikuta x:ää koskevaan tilastolliseen päättelyyn, vaan se on luonteeltaan normitusvakio.
Jotta voimme muodostaa posteriorijakauman tuntemattomalle , tarvitaan:
Näistä ensimmäinen on uskottavuusfunktio . Priorijakauma on ennakkokäsitys tuntemattomasta , ja usein se riippuu hyperparametreistä . Priori voidaan esittää jakaumana .
Jos priori valitaan siten, että se kuuluu samaan jakaumaperheeseen posteriorijakauman kanssa, sitä kutsutaan konjugaattiprioriksi. Tällöin syntyy myös laskennallisesti mukavampi tilanne. Jos havaintojen yhteisjakauma kuuluu eksponenttiseen perheeseen, aina on olemassa konjugaattipriori (Morris, 1983).[2]
Jos ilmiösta ei ole ennakkotietoa, prioriksi voidaan valita epäinformatiivinen priori, joka vaikuttaa mahdollisimman vähän posteriorijakaumaan. Esimerkiksi seuraavalla tavalla:
Yksi vaihtoehto on myös Jeffreys'in priori:
.
Bayesin kaavasta saadaan posteriorijakaumaksi seuraava:
missä jatkuvan jakauman tapauksessa
ja diskreetin jakauman tapauksessa
Joskus tulee laskennallisia ongelmia nimittäjän integroinnissa, mutta jos ollaan kiinnostuneita vain posteriorin maksimista :n suhteen, sitä ei tarvita. Voidaan kirjoittaa:
Suurimman uskottavuuden estimaatin laskemiseksi :lle riittää maksimoida lauseke :n suhteen, sillä nimittäjä ei riipu siitä.
Olkoon uusi havainto, joka on riippumaton havainnoista . Prediktiivinen jakauma (ennustejakauma) :lle on :n ehdollinen jakauma ehdolla , ja se saadaan seuraavasti:
Posteriorijakauman laskeminen analyyttisesti ei aina onnistu. Syynä on useimmiten se, että nimittäjässä on moniulotteinen integraali, joka on erittäin vaikea laskea. Tällöin voidaan hyödyntää muita keinoja posteriorijakauman laskemiseksi. Kun havaintoja on paljon, posteriorijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakauma-approksimaatiolla:
on suurimman uskottavuuden estimaatti ja on havaittu informaatio(matriisi). Muita keinoja approksimoida posteriorijakaumaa ovat numeerinen integrointi, posteriorijakauman integraalin laskeminen Laplace'n menetelmällä ja Markovin ketju Monte Carlo -simulointi.
Posteriorijakauman ratkaisemiseen erityisesti monimutkaisissa ja hierarkkisissa malleissa joudutaan usein käyttämään MCMC-menetelmää eli Markovin ketju Monte Carlo -menetelmää. Menetelmän idea on seuraava: Kun oletetaan, että jakaumasta riippumatta, niin voidaan edetä seuraavasti:
MCMC-menetelmiä ovat esimerkiksi Metropolisin algoritmi ja sen muunnelma Metropolisin ja Hastingsin algoritmi.
Kun oletetaan, että on pystytty konstruoimaan posteriori , Metropolisin algoritmin idea posteriorijakauman simuloimiseksi on seuraavanlainen:
Toinen tapa konstruoida ketjua, on Gibbsin algoritmi: Olkoon parametrivektori, ja merkitään . Oletetaan lisäksi, että voidaan helposti laskea.
Näidenkin lisäksi on vielä useita eri menetelmiä ja edellisten muunnelmia. Nykyään on käytettävissä valmisohjelmistoja, joiden avulla simulaatiomenetelmiä voidaan soveltaa monissa tapauksissa ilman, että ne joudutaan ohjelmoimaan joka kerta uudelleen. Esimerkiksi Gibbin algoritmille on olemassa ilmainen ohjelma BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling).
Oleellinen osa Bayes-tilastotiedettä on mallikritiikki, ja se pohjautuu pitkälti prediktiiviseen jakaumaan . Joitakin lähestymistapoja mallikritiikille:
Käytettäessä ei-havaittavalle muuttujalle niin sanottua laakeaa prioria p(x) ~ 1 (engl. uniform prior, tulkitaan singulaarisesti jatkuvana mittana, joka saa saman arvon kaikilla x), posteriori p(x|y) on vakiokerrointa vaille sama kuin klassisessa tilastotieteessä käytettävä uskottavuusfunktio. Tällöin bayesiläiset menetelmät antavat samoja numeerisia tuloksia kuin maximum likelihood -päättely; joskin tulosten käsitteellinen tulkinta on erilainen.
Jos käytetään jotakin muuta kuin laakeaa prioria, posteriorin arvot muuttuvat. Tästä syystä priorin valinta saattaa vaikuttaa bayesiläisen tilastollisen päättelyn tuloksiin. Bayesiläiset tilastotieteilijät jakautuvat niin sanottuihin subjektiivisiin bayesiläisiin, jotka korostavat priorin merkitystä tilastollisen päättelyn hyödyllisenä apuvälineenä, ja objektiivisiin bayesiläisiin, jotka suhtautuvat varauksellisesti prioriin sisältyvään informaatioon.
Jotkut tilastotieteen klassisen paradigman kannattajat ovat esittäneet, että priorin ja posteriorin käsitteet ovat ontologisesti ongelmallisia tai peräti kokonaan virheellisiä. Toisaalta bayesiläistä paradigmaa on puolustettu informaatio- ja päätösteoreettisilla perusteluilla. Monien kannattajiensa mielestä bayesiläinen paradigma antaa tilastotieteelle teoreettisen perustan, joka on yhtenäisempi ja helpommin omaksuttava kuin klassisen paradigman antama perusta.
Suomessa bayesiläisen tilastotieteen edelläkävijöitä ovat olleet Elja Arjas ja Antti Penttinen.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.