From Wikipedia, the free encyclopedia
کُره یا گوی یا سِپِهر (به انگلیسی: Sphere) یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطهاست. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطهها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده میشود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز میگذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.
کره | |
---|---|
![]() A perspective projection of a sphere | |
نوع | Smooth surface Algebraic surface |
مشخصه اویلر | 2 |
گروه تقارنی | O(3) |
مساحت کل | 4πr2 |
حجم | 4/3πr3 |
کره به ابن صورت تعریف می گردد:
کره مجموعه نقاطی از فضا است که این نقاط به فاصله ی یکسان در مرکز کره شعاع آن را ایجاد می کند،کره نوعی چندوجهی منحنی پیچیده ای است که از نوع احجام هندسی است.[1]
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند. ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک کره و یک توپ را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک توپ باز خود کره را حذف می کند، در حالی که یک توپ بسته شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین توپ و کرههمیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین " دایره " و " دیسک " در هواپیما مشابه است.
کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x0,y0,z0)داشته باشیم و مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.
معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با a ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهیدسپس معادله برابر با
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر باباشد و مرکز کره ما برابر باباشد به صورت زیر نوشته می گردد
نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π ومتغیر است از0 تا نیز متغیر است .
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ "خط" ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازهگیری با طول قوس نشان میدهد که کوتاهترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاهتر دایره بزرگ است که نقاط را شامل میشود.
بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.
هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، نقاط پادپای نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است. هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره
هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.
کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ r2 است. طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند.
کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت.
کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :
این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.
در هندسه ریمانی ، حدس ناحیه پر شدن بیان می کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است .
دایرههای روی کره مانند دایرههایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شدهاند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است. دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.
سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم محور هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.
در ناوبری ، خط رومب یا لوکسودروم کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.
منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن استو همبستگیمعادله را برآورده کند
موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی () و مارپیچ های کروی () مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .
آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:
بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.
اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.
تقاطع کره - استوانه
تقاطع کره با معادلهو استوانه با معادلهفقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است
یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به طور کلی، یک کره به طور منحصر به فردی با چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می شود.این ویژگی مشابه این ویژگی است که سه نقطه غیر خطی یک دایره منحصر به فرد را در یک صفحه تعیین می کنند. در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند). با بررسی راه حل های رایج معادلات دو کره می توان دریافت که دو کره در یک دایره قطع می شوند و صفحه حاوی آن دایره رادیکال نامیده می شود. صفحه ' کره های متقاطع. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند).اگر
f(x، y، z) = 0 و g( x، y، z) = 0
سپس معادلات دو کره مجزا هستند پس :
همچنین معادله یک کره برای مقادیر دلخواه پارامترهای λ و μ است. مجموعه تمام کرههایی که این معادله را برآورده میکنند «مداد کرهها» نامیده میشوند که توسط دو کره اصلی تعیین میشود. در این تعریف، کره مجاز است یک صفحه باشد (شعاع بی نهایت، مرکز در بی نهایت) و اگر هر دو کره اصلی صفحه باشند، تمام کره های مداد صفحه هستند، در غیر این صورت فقط یک صفحه (صفحه رادیکال) در آن وجود دارد. مداد.
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل.
یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. بهطور کلیتر، یک کره به طور منحصربهفردی چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین میشود .
در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).
با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، صفحه رادیکال کره های متقاطع نامیده می شود. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند).
زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند. آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد.
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.
در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست میآید:
که در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کرهاست.
در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرالگیری بدست میآید.
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.
حجم استوانه=
اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
که در اینجا r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری . این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.
نخست حجم نیم کره را بدست میآوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره میشود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایرهای با ضخامت بسیار کم ساخته شدهاست. مجموع (انتگرال) حجم این دیسکها، حجم کرهٔ مورد نظر را میسازد. محور تمام این دیسکها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).
اگر ضخامت دیسکها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:
پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسکها:
در بالای کره، شعاع دیسکها بسیار کوچک و نزدیک به صفر[3] است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسکها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:
با توجه به قضیه فیثاغورس میدانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:
پس به جای از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار است استفاده میکنیم:
مقدار تازهٔ را در انتگرال جایگذاری میکنیم:
مقدار انتگرال برابر است با:
حجم نیمی از کره برابر با است پس حجم کل کره میشود:
حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:
بنابراین حجم کره برابر با این رابطه است.
حجم کره، حجمی است که توسط سطح و رویه کره محدود شده است و فضای کره را اشغال کرده است.
از نتیجهٔ قضیهٔ فیثاغورس داریم:
مساحت هر دیسک یا مساحت مقطع مخروط در هر برش عرضی از مقطع شکل برابر است با:
بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه و ارتفاع به a مخروط (به طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه و ارتفاع حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادم
می توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش های بی نهایت با ضخامت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود.) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.
شعاع این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می شود:
این برای محتوای رابط می دهد
از طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی و یک شعاع داخلی است. مساحت این تقاطع بنابراین
برای فاصله دلخواه تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.
اکنون می توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:
یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.
بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می کند:
کره را می توان به بی نهایت هرم با ارتفاع (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:
.
شعاع در فاصله :
ناحیه دایره ای در فاصله :
حجم کره:
حجم یک قطعه کروی از ارتفاع را می توان به همین ترتیب محاسبه کرد:
کره ای با شعاع که مرکز آن در مبدا مختصات است، می تواند با معادله نمایش داده شود:
توضیح داده می شود که در آن مختصات فاصله هستند.
این مشکل را می توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:
ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می کنیم.
با تعیین عملکردی:
عنصر حجم مورد نیاز به عنوان نتیجه میشود:
بنابراین حجم کره به این صورت داده می شود:
امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:
اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای و به جای و . انگیزه این تحول، ساده سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است:
راه دیگر با کمک فرمول بدنه های انقلاب:
اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می شود. این را می توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.
فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست میدهد:
معادله به صورت دایره ای است:
با مرکز:
با وصل کردن معادله دایره، دریافت می کنیم"
با جایگزین کردن فرمول بدنه های چرخشی حول محور x، دریافت می کنیم:
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست میآید:
ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست میدهد. میتوان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحتهای بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آنها از ۰ تا r میتواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجمهای کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:
حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوستهها:
هنگامی که δr به سمت صفر میل میکند[3] باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:
چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آوردهایم، پس خواهیم داشت:
از دو سر رابطهٔ بالا مشتق میگیریم:
که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته میشود:
در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت بدست میآید.
مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست میآید:
سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می دهد. بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همانطور که گفتیم برابر با است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایرهای است که کره را در بر می گیرد.برای یک حجم معین، کره کوچکترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.
اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:
و اجازه دهید برای تلاش کند،
بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان های مربع مساحت یکسانی دارند.
مساحت خط استوا است ( که در آن به تمایل دارد زیرا در خط استوا به سریعتر از به تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد در آنجا فیلد میشود مساحت کل همه فیلدها است: .
کره ای را می توان متشکل از بی نهایت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول داده میشود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرمها، یعنی حجم کره اعمال میشود:
بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:
حجم کره بر اساس این فرمولتعریف میشود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می شود:
این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می کند.
به صورت انتگرالی اینگونه بدست می آید
برای سطح جانبی بدنه چرخشی:
برای عنصر سطح روی سطوح = ثابت در مختصات کروی اعمال می شود:
این امر محاسبه سطح را آسان می کند:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.