میدان (ریاضیات)
ساختار جبری که بر روی آن جمع، ضرب و تقسیم تعریف شدهاند / From Wikipedia, the free encyclopedia
در ریاضیات، میدان یا هیئت[persian-alpha 1] (Field)، مجموعه ای است که بر روی آن جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم تعریف شدهاند. این چهار عمل در میدان همچون چهار عمل متناظرشان در اعداد حقیقی و گویا عمل میکنند؛ لذا یک میدان ساختار جبری بنیادینی است که بهطور گسترده در جبر، نظریه اعداد و بسیاری از شاخههای دیگر ریاضیات مورد استفاده قرار میگیرد.
شناخته شدهترین میدانها، میدان اعداد گویا، میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط میباشد. بسیاری از میدانهای دیگر چون میدان توابع گویا، میدان توابع جبری، میدان اعداد جبری و میدان p-adicها در ریاضیات بهطور معمول مورد استفاده و مطالعه قرار گرفتهاند، بهخصوص در نظریه اعداد و هندسه جبری. بسیاری از پروتکلهای رمزنگاری وابسته به میدانهای متناهی، یعنی میدانهایی با تعداد اعضای متناهی میباشند.
رابطهٔ دو میدان با مفهوم توسعه میدانها بیان میشود. نظریه گالوا، که توسط اواریسته گالوا در دهه ۱۸۳۰ آغاز گشت، خود را وقف فهمیدن تقارن توسعه میدانها نمودهاست. این نظریه، در میان نتایج دیگر، نشان میدهد که تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمیتوان با خطکش و پرگار انجام داد. به علاوه این که نشان میدهد معادلات درجه پنج از نظر جبری حلپذیر نیستند.
میدانها در بسیاری از قلمروهای ریاضیاتی، مفاهیم بنیادینی هستند. از جمله در آنالیز که وابسته به میدانها بوده و بر روی آنها ساختار دیگری میافزاید. قضایای بنیادین آنالیز وابستگی تنگاتنگی به خواص ساختاری میدان اعداد حقیقی دارند. یک کاربرد دیگر که از نظر جبری مهم است این است که هر میدان را میتوان به عنوان اسکالرهایی برای یک فضای برداری مورد استفاده قرار داد، که تم اصلی جبر خطی میباشد. میدان اعداد، رابطه خویشاوندی نزدیکی با اعداد گویا داشته و عمیقاً در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار میگیرند. و در نهایت با کمک میدان توابع میتوان خواص اشیاء هندسی را توصیف کرد.