جبر

برای نوعی ساختار جبری، جبر روی یک میدان را ببینید. برای دیگر کاربردها، جبر (ابهام زدایی) را ببینید.

جَبر ( جبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده»^[1] و «شکسته‌بندی»^[2]) به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می‌پردازد؛^[3] و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می‌کند.^[4] این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش‌های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می‌نامند؛ و بخش‌های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می‌خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می‌باشد. جبر مجرد یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می‌شود.

معادله مربعی جواب‌های معادله ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ را در حالتی که ${\displaystyle a}$ ناصفر است، بر حسب ${\displaystyle a,b}$ و ${\displaystyle c}$ بیان می‌دارد.

جبر مقدماتی با حساب در استفاده از تجرید متفاوت اند. در جبر برخلاف حساب از تجریدهایی چون نمادهایی برای اعداد مجهول یا مقادیری که مجاز به اختیار کردن مقادیر مختلف اند، استفاده می‌گردد.^[5] به عنوان مثال در ${\displaystyle x+2=5}$، نماد ${\displaystyle x}$ نامعلوم است، اما با اعمال معکوس‌های جمعی مقدار ${\displaystyle x=3}$ برای آن پیدا می‌شود. در${\displaystyle E=mc^{2}}$، نماد ${\displaystyle E}$ و ${\displaystyle m}$ متغیر اند، و نماد ${\displaystyle c}$ ثابت سرعت نور در خلأ است. جبر روش‌هایی برای نوشتن فرمول‌ها و حل معادلات ارائه می‌کند که بسیار ساده‌تر و واضح تر از روش‌های قدیمی است که همه چیز را بر حسب کلمات یا شکل‌ها می‌نوشتند.

واژهٔ جبر کاربردهای تخصصی تر هم دارد. نوعی از اشیاء ریاضیاتی در جبر مجرد را «جبر» می‌نامند؛ به عنوان مثال در عنوان‌هایی مثل جبر خطی یا توپولوژی جبری.

علم جبر توسط ریاضی دان ایرانی خوارزمی پایه گذاری شد و خوارزمی به پدرعلم جبر معروف است. ^[6]

دسته‌بندی

• جبر مقدماتی: جبر مقدماتی عملیات پایه‌ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می‌گیرد. در این شاخه پیش از تعریف علائمی که اعداد ثابت و متغیرها به وسیلهٔ آن‌ها از هم تفکیک می‌شوند، روش‌هایی برای حل معادلات به کار می‌رود.^[7]
• جبر مجرد: جبر مجرد به مطالعه ساختار جبری پیشرفته‌تر مثل گروه و حلقه و میدان می‌پردازد و خود به شاخه‌های گوناگونی تقسیم می‌شود:^[7]
  • جبر جابجایی
  • جبر ناجابجایی
• جبر خطی: بررسی نگاشت‌های خطی میان فضاهای بُرداری و فضاهای برداری در حیطهٔ این جبر است که کاربردهای بسیاری در شاخه‌های گوناگون دارد.^[7]

برای مطالعات بیشتر

• خلاصه کتاب تاریخ تکامل جبر ریاضی از قرن دوم تا قرن بیست و یکم، نوشته جان داربی‌شر، ترجمه کامران بزرگزاد ایمانی، نشر واژه ۱۴۰۱.

پانویس

1. "algebra". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. Archived from the original on 31 December 2013. Retrieved 10 February 2021.
2. Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (به انگلیسی). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2.
3. See (Herstein 1964), page 1: "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them".
4. See (Herstein 1964), page 1: "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics".
5. این مراجع را ببینید: (Boyer 1991), Europe in the Middle Ages, p. 258: "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII–IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
6. «Gmail». accounts.google.com. دریافت‌شده در ۲۰۲۴-۰۶-۱۹.
7. «جبر». دانشنامهٔ رشد. بایگانی‌شده از اصلی در ۲۶ آوریل ۲۰۰۶. دریافت‌شده در ۷ بهمن ۱۳۸۷.

منابع

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Gandz, S. (January 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610. S2CID 60770737.
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.

برای مطالعه بیشتر

• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
• Euler, Leonhard (November 2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Archived from the original on 2011-04-13.
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X.
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved 2011-12-10.
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.

پیوند به بیرون

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, ۱۷ اکتبر ۲۰۰۷ (available for MP3 and MP4 download, as well as a text file).
• Pratt, Vaughan. "Algebra". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.