منیفلد دیفرانسیل‌پذیر

در ریاضیات، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر (به انگلیسی: Differential Manifold) نوعی منیفلد است که جهت انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال، به‌طور موضعی به میزان کافی به یک فضای خطی شبیه اند. هر منیفلدی را می‌توان توسط گردایه ای از چارت‌ها که به آن اطلس هم می‌گویند، توصیف کرد. آنگاه می‌توان ایده‌هایی را از حسابان به کار گرفت، در حالی که هر چارت در فضایی خطی قرار داشته که در ان می‌توان قواعد حسابان را به کار برد. اگر چارت‌ها به طرز مناسبی با هم سازگار باشند (یعنی تابع انتقال از یک چارت به دیگری دیفرانسیل‌پذیر باشد)، محاسبات انجام گرفته در یک چارت در بقیه چارت‌های دیفرانسیل‌پذیر نیز برقرار است.

اطلس غیر دیفرانسیل‌پذیری از چارت‌های کره زمین است. اگر اطلس دیفرانسیل‌پذیر نباشد، ممکن است حساب دیفرانسیل بین چارت‌ها سازگار نباشد. در چارت‌های راست و مرکزی، مرکز رأس‌السرطان یک خم هموار است، در حالی که در چارت سمت چپ یک گوشه تیز دارد. مفهوم منیفلد دیفرانسیل‌پذیر، همان مفهوم منیفلد را با الزام به دیفرانسیل‌پذیر بودن توابع بین چارت‌ها، ظریف‌تر می‌کند.

به زبان صوری، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر، منیفلدی توپولوژیک است که ساختار دیفرانسیل سرتاسری بر روی آن تعریف شده است. هر منیفلد توپولوژیکی را می‌توان به‌طور موضعی و با کمک هومئومورفیسم‌ها در اطلس و یک ساختار استاندارد دیفرانسیل رو یک فضای خطی، مجهز به یک ساختار دیفرانسیل کرد. برای القای یک ساختار دیفرانسیل روی دستگاه‌های مختصاتی موضعی با استفاده از هومئومورفیسم‌ها، ترکیبشان روی اشتراک چارت‌ها باید توابعی دیفرانسیل‌پذیر روی فضای خطی متناظر باشد. به بیان دیگر، اگر دامنه چارت‌ها همپوشانی داشته باشند، مختصات تعریف شده توسط هر چارت باید نسبت به مختصات تعریف شده در هر چارت از اطلس نیز دیفرانسیل‌پذیر باشد. نگاشت‌هایی که مختصات تعریف شده توسط چارت‌های مختلف را به هم مرتبط می‌کنند را نگاشت‌های انتقال گویند.

دیفرانسیل‌پذیری در موقعیت‌های مختلف، معانی مختلفی دارد: به‌طور پیوسته دیفرانسیل‌پذیر، k بار دیفرانسیل‌پذیر، هموار و هولومورفیک. به علاوه، امکان القای چنین ساختار دیفرانسیلی روی یک فضای مجرد، امکان گسترش تعریف دیرانسیل‌پذیری به فضاهایی که دستگاه مختصات سرتاسری ندارند را نیز می‌دهد. یک ساختار دیفرانسیل امکان تعریف فضای مماس دیفرانسیل‌پذیر سرتاسری، توابع دیفرانسیل‌پذیر، تنسور دیفرانسیل‌پذیر و میدان برداری را می‌دهد. منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر در فیزیک اهمیت بالایی دارند. برخی از انواع خاص منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر پایه ای برای نظریات فیزیکی چون مکانیک کلاسیک، نسبیت عام و نظریه یانگ-میلز را می‌دهد. امکان تکوین حاسابان برای منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر وجود دارد. از نتایج این تکوین، ماشین‌های ریاضیاتی چون حساب خارجی می‌باشد. به مطالعه حسابان روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر هندسه دیفرانسیل می‌گویند.

منابع

• Donaldson, Simon (1983). "An application of gauge theory to four-dimensional topology". Journal of Differential Geometry. 18 (2): 279–315. doi:10.4310/jdg/1214437665.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• "Differentiable manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kervaire, Michel A. (1960). "A manifold which does not admit any differentiable structure". Commentarii Mathematici Helvetici. 34 (1): 257–270. doi:10.1007/BF02565940. S2CID 120977898..
• Kobayashi, Shoshichi (1972). Transformation groups in differential geometry. Springer.
• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Levi-Civita, Tullio (1927). "The absolute differential calculus (calculus of tensors)". Nature. 120 (3024): 542–543. Bibcode:1927Natur.120..542B. doi:10.1038/120542a0. S2CID 4109613.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer. ISBN 0-387-97710-4.
• Milnor, John (1956). "On manifolds homeomorphic to the 7-Sphere". Annals of Mathematics. 64 (2): 399–405. doi:10.2307/1969983. JSTOR 1969983.
• Ranicki, Andrew (2002). Algebraic and Geometric Surgery. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press. ISBN 0-19-850924-3.
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1901). Die Methoden des absoluten Differentialkalkuls.
• Ricci-Curbastro, Gregorio (1888). "Delle derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi applicata" (به ایتالیایی). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Riemann, Bernhard (1867). "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry)". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 13.
• Sela, Zlil (1995). "The isomorphism problem for hyperbolic groups. I". Annals of Mathematics. 141 (2): 217–283. doi:10.2307/2118520. JSTOR 2118520.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall.
• Weisstein, Eric W. "Smooth Manifold". Retrieved 2008-03-04.
• Weyl, Hermann (1955). Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner.
• Whitney, Hassler (1936). "Differentiable manifolds". Annals of Mathematics. 37 (3): 645–680. doi:10.2307/1968482. JSTOR 1968482.