توپولوژی جبری

توپولوژی جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که از ابزارهای جبر مجرد به منظور مطالعه فضاهای تپولوژیکی بهره می‌برد. هدف بنیادین در این شاخه، پیدا کردن ناورداهای جبری است که فضاهای توپولوژیکی را در حد هومئومورفیسم دسته‌بندی کند، گرچه که اغلب این دسته‌بندی در حد هموتوپی خواهد بود.

یک چنبره، این شیء یکی از رایج‌ترین اشیاء مورد مطالعه در توپولوژی جبریست

گرچه که توپولوژی جبری در وهله اول از جبر برای مطالعه مسائل توپولوژی استفاده می‌کند، استفاده از توپولوژی برای حل مسائل جبری نیز برخی مواقع امکان‌پذیر است. به عنوان مثال، توپولوژی جبری امکان ارائه اثبات مناسبی برای این حقیقت که «هر زیر گروه یک گروه آزاد، آزاد است» را فراهم می‌کند.

شاخه‌های اصلی

در زیر لیستی از شاخه‌های اصلی مورد مطالعه در توپولوژی جبری آمده‌است:

گروه‌های هموتوپی

مقالهٔ اصلی: گروه هموتوپی

در ریاضیات، گروه‌های هموتوپی در توپولوژی جبری برای دسته‌بندی فضاهای توپولوژیکی مورد استفاده قرار گرفته‌اند. اولین و ساده‌ترین گروه‌های هموتوپی، گروه بنیادی است که اطلاعات مربوط به حلقه‌ها (به انگلیسی: Loops) ی درون فضای مورد نظر را در خود می‌گنجاند. به‌طور شهودی، گروه‌های هموتوپی، اطلاعات مربوط به شکل پایه و سوراخ‌های یک فضای توپولوژی را ثبت می‌کنند.

نظریه گره‌ها

مقالهٔ اصلی: نظریه گره

نظریه گره به مطالعه گره‌های ریاضیاتی می‌پردازد. در حالی که گره‌ها از زندگی روزمره، مثل گره بند کفش یا تناب الهام گرفته شده‌است، گره ریاضیدانان دارای این تفاوت است که باید دو انتهای آزاد تناب هم به هم وصل شوند چنان‌که نتوان گره را باز کرد.

مجتمع‌ها

مقاله‌های اصلی: مجتمع سادکی و مجتمع CW

یک مجتمع سادکی فضای توپولوژیکی از نوع خاصی است که با «به هم چسباندن» نقاط، پاره خط‌ها، مثلث‌ها و اشیاء n-بعدی متناظرشان بدست می‌آید.

کاربردها

کاربردهای کلاسیک توپولوژی جبری شامل موارد زیر است:

• قضیه نقطه ثابت براور: هر نگاشت پیوستته از یک n-دیسک به خودش دارای نقطه ثابت است.
• رتبه آزاد n-مین گروه همولوژی یک مجتمع سادکی، n-مین عدد بتی است که امکان محاسبه مشخصه‌های اویلر-پوانکاره را می‌دهد.
• می توان از ساختار دیفرانسیلی منیفلدهای هموار از طریق کوهمولوژی درام، چخ یا کوهمولوژی بافه‌ای برای بررسی حلپذیری معادلات دیفرانسیلی که روی منیفلد مورد سؤال تعریف شده‌اند استفاده کرد.

منابع

• Allegretti, Dylan G. L. (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
• Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory, archived from the original on 14 May 2016, retrieved 8 February 2021{{citation}}: نگهداری یادکرد:ربات:وضعیت نامعلوم پیوند اصلی (link) (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
• Brown, R.; Razak, A. (1984), "A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces", Archiv. Math., 42: 85–88, doi:10.1007/BF01198133. "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
• Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space", Theory Appl. Categories, 10 (2): 71–93.
• Brown, R.; Higgins, P.J. (1978), "On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces", Proc. London Math. Soc., S3-36 (2): 193–212, doi:10.1112/plms/s3-36.2.193. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, European Mathematical Society, arXiv:math/0407275, ISBN 978-3-03719-083-8, archived from the original on 2009-06-04 This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 978-0-8053-3557-6. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
• Higgins, Philip J. (1971), Notes on categories and groupoids, Van Nostrand Reinhold, ISBN 978-0-442-03406-1
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), "On the connection between the fundamental groups of some related spaces", American Journal of Mathematics, 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091

برای مطالعه بیشتر

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-X. and شابک ‎۰−۵۲۱−۷۹۵۴۰−۰.
• "Algebraic topology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. Retrieved 2008-09-27. Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.