FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
چندضلعی ستاره‌ای

چندضلعی ستاره‌ای

From Wikipedia, the free encyclopedia

چندضلعی ستاره‌ای
محیط و مساحتپانویس

یک چندضلعی ستاره‌ای منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

اطلاعات بیشتر ...
مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای

{۵/۲}
{۷/۲}
{۷/۳}
{۸/۳}

{۹/۲}
{۹/۴}
{۱۰/۳}		 ...
نماد اشلفلی
2 < 2 q < p {\displaystyle 2<2q<p} {\displaystyle 2<2q<p}
gcd(p,q)=۱		 {p/q}
رأس‌ها و اضلاع p
چگالی q
گروه تقارن دوسطحی (Dp)
چندضلعی همزاد خودهمزاد
اندازه زاویه داخلی
(درجه)		 180 ( p − 2 q ) p {\displaystyle {\frac {180(p-2q)}{p}}} {\displaystyle {\frac {180(p-2q)}{p}}}[1]
بستن

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود.[2] در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند. برای اعداد صحیح p و q، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود.[3] نماد چنین چندضلعی {p/q} بوده که معادل {p/p-q} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که p و q متباین باشند.

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

Thumb
five-pointed regular star area

A s t a r = A p o l y g o n + n × ( A t r i a n g l e ) = n b 2 4 t a n ( π / n ) + n a 2 2 s i n ( γ ) {\displaystyle A_{star}=A_{polygon}+n\times (A_{triangle})={nb^{2} \over 4tan(\pi /n)}+{na^{2} \over 2}sin(\gamma )} {\displaystyle A_{star}=A_{polygon}+n\times (A_{triangle})={nb^{2} \over 4tan(\pi /n)}+{na^{2} \over 2}sin(\gamma )}

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

b 2 = a 2 + a 2 − 2 a 2 c o s γ = 2 a 2 ( 1 − c o s γ ) {\displaystyle b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos\gamma =2a^{2}(1-cos\gamma )} {\displaystyle b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos\gamma =2a^{2}(1-cos\gamma )}

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

A s t a r = n a 2 ( 1 − c o s γ ) 2 t a n ( π / n ) + n a 2 s i n γ 2 = n a 2 2 ( 1 − c o s γ t a n ( π / n ) + s i n γ ) {\displaystyle A_{star}={na^{2}(1-cos\gamma ) \over 2tan(\pi /n)}+{na^{2}sin\gamma \over 2}={na^{2} \over 2}({1-cos\gamma \over tan(\pi /n)}+sin\gamma )} {\displaystyle A_{star}={na^{2}(1-cos\gamma ) \over 2tan(\pi /n)}+{na^{2}sin\gamma \over 2}={na^{2} \over 2}({1-cos\gamma \over tan(\pi /n)}+sin\gamma )}

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

γ = π − 4 π n {\displaystyle \gamma =\pi -{4\pi \over n}} {\displaystyle \gamma =\pi -{4\pi \over n}}

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

s i n γ = s i n ( π − 4 π n ) = s i n ( 4 π n ) {\displaystyle sin\gamma =sin(\pi -{4\pi \over n})=sin({4\pi \over n})} {\displaystyle sin\gamma =sin(\pi -{4\pi \over n})=sin({4\pi \over n})}

c o s γ = c o s ( π − 4 π n ) = − c o s ( 4 π n ) {\displaystyle cos\gamma =cos(\pi -{4\pi \over n})=-cos({4\pi \over n})} {\displaystyle cos\gamma =cos(\pi -{4\pi \over n})=-cos({4\pi \over n})}

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

A s t a r = n a 2 2 [ 1 + c o s ( 4 π / n ) t a n ( π / n ) + s i n ( 4 π / n ) ] {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{1+cos(4\pi /n) \over tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]} {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{1+cos(4\pi /n) \over tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]}

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

A s t a r = n a 2 2 [ c o s ( π / n ) + c o s ( 3 π / n ) s i n ( π / n ) ] {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n) \over sin(\pi /n)}]} {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n) \over sin(\pi /n)}]}

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

A s t a r = n a 2 2 [ 2 c o s ( 2 π / n ) t a n ( π / n ) ] = n a 2 c o s ( 2 π / n ) t a n ( π / n ) ] {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{2cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]={na^{2}cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]} {\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{2cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]={na^{2}cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]}

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.[4]

  1. [1]
    Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
  2. [2]
    Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). Regular polytopes. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9.
  3. [3]
    Weisstein, Eric W. "Star Polygon". MathWorld.
  4. [4]
    «بررسی هندسی شکل ستاره منتظم». رشد برهان ریاضی. ۲۷ (۱۰۶): ۱۰–۱۲. دی ۱۳۹۶.


Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

محیط و مساحت

پانویس