FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
منحنی

منحنی

From Wikipedia, the free encyclopedia

منحنی
تعریف منحنیانواع منحنی (خم)منحنی مسطحانواع منحنی مسطحمنحنی سادهمنحنی بستهمنحنی سادهٔ بستهقضیه منحنی جردنتعاریفقراردادها و اصطلاحاتانحناء منحنی‌هاانحناء منحنی‌ای مسطحطول خممنابع

خَم، خَمیدگی، انحنا، یا مُنحَنی (به انگلیسی: Curve) یک مفهوم هندسی است.

نمونه‌ای از یک منحنی ساده و بسته: به این شکل در هندسه درون‌چرخه‌زاد[1] گفته می‌شود.

در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف منحنی در نظر گرفته نمی‌شود؛ ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خطها نیز خم‌اند. تعداد زیاد دیگری منحنی در هندسه مطالعه می‌شوند.

Thumb
منحنی لوبیایی نوعی منحنی چارکی با فرمول: x 4 + x 2 y 2 + y 4 = x ( x 2 + 1 / 7 y 2 ) {\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+1/7y^{2})} {\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+1/7y^{2})}

عبارت منحنی (خم) همچنین در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم‌معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.

به‌طور کلی، خم یا منحنی بر دو گونه است:

  • منحنی مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه)قابل جایگیری است.
  • منحنی کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد.

به‌طور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.[2]

منحنی ساده

یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ‌یک از نقطه‌های خود را قطع نکند.[3]

منحنی بسته

منحنی بسته، به خمی گفته می‌شود که نقطه‌های (انتهایی) آن به هم رسیده (و بر همدیگر منطبق) باشند.[3]

منحنی سادهٔ بسته

منحنی ای ساده بسته است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن برهم منطبق باشند و نقطه‌های خود را قطع نکند.

هر منحنی سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی منحنی تقسیم می‌کند.[4]

در توپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

فرض کنیم I بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} }). آنگاه، خم γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } یک نگاشت پیوسته γ : I → X {\displaystyle \,\!\gamma :I\rightarrow X} {\displaystyle \,\!\gamma :I\rightarrow X} است که X یک فضای توپولوژیکی است.

خم γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } را ساده می‌گویند اگر که برای هر x,y در I داشته باشیم:

γ ( x ) = γ ( y ) → x = y {\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)\rightarrow x=y} {\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)\rightarrow x=y}

در صورتی که، I بازه‌ای بسته و کراندار [ a , b ] {\displaystyle \,\![a,b]} {\displaystyle \,\![a,b]} باشد، امکان γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \,\!\gamma (a)=\gamma (b)} {\displaystyle \,\!\gamma (a)=\gamma (b)} را هم مجاز در نظر می‌گیریم (این قرارداد امکان این را می‌دهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم).

چنانچه، به ازاء برخی x ≠ y {\displaystyle x\neq y} {\displaystyle x\neq y} (غیر از دوسر I) داشته باشیم:

γ ( x ) = γ ( y ) {\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)} {\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)}

آنگاه به γ ( x ) {\displaystyle \,\!\gamma (x)} {\displaystyle \,\!\gamma (x)} یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه) از خم گفته می‌شود.

خم γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر I = [ a , b ] {\displaystyle \,\!I=[a,b]} {\displaystyle \,\!I=[a,b]} و اگر γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \!\,\gamma (a)=\gamma (b)} {\displaystyle \!\,\gamma (a)=\gamma (b)}. بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره S 1 {\displaystyle S^{1}} {\displaystyle S^{1}} است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود. یک خم صفحه‌ای خم‌ای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است—این‌ها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند --. یک خم فضایی خم‌ای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خم‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.

تفاوت بین یک منحنی و تصویر آن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعت‌های متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقه‌مندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود.

نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «خم» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.

مقالهٔ اصلی: انحناء

انحناء منحنی‌ای مسطح

Thumb
برای یک قطعه کوچک Δs، طول قوس را می‌توان با استفاده از قضیه فیثاغورث تقریبی کرد.

اگر X یک فضای متری با متر d باشد، آنگاه «طول» خم γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \!\,\gamma :[a,b]\rightarrow X} {\displaystyle \!\,\gamma :[a,b]\rightarrow X} را با

Length ( γ ) = sup { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) : n ∈ N  and  a = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = b } . {\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} {\mbox{ and }}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b\right\}.} {\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} {\mbox{ and }}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b\right\}.}

تعریف کنیم. یک خم تصحیح پذیر یک خم با طول متناهیست. معادله پارامتری از γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } طبیعی (یا سرعت واحد یا پارامتری شده با طول خم) نامیده می‌شود اگر برای هر t 1 {\displaystyle t_{1}} {\displaystyle t_{1}}، t 2 {\displaystyle t_{2}} {\displaystyle t_{2}} در [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} {\displaystyle [a,b]} داشته باشیم

length ( γ | [ t 1 , t 2 ] ) = | t 2 − t 1 | {\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=|t_{2}-t_{1}|} {\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=|t_{2}-t_{1}|}

اگر γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } یک تابع پیوسته لیپشیتس باشد، آنگاه خودش تصحیح‌پذیر است. بعلاوه، در این حالت، می‌توان سرعت γ {\displaystyle \!\,\gamma } {\displaystyle \!\,\gamma } در t 0 {\displaystyle t_{0}} {\displaystyle t_{0}} را به صورت

speed ( t 0 ) = lim sup t → t 0 d ( γ ( t ) , γ ( t 0 ) ) | t − t 0 | {\displaystyle {\mbox{speed}}(t_{0})=\limsup _{t\to t_{0}}{d(\gamma (t),\gamma (t_{0})) \over |t-t_{0}|}} {\displaystyle {\mbox{speed}}(t_{0})=\limsup _{t\to t_{0}}{d(\gamma (t),\gamma (t_{0})) \over |t-t_{0}|}}

تعریف کرد؛ و آنگاه

length ( γ ) = ∫ a b speed ( t ) d t . {\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\mbox{speed}}(t)\,dt.} {\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\mbox{speed}}(t)\,dt.}

به‌طور خاص، اگر X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} یک فضای اقلیدسی و γ : [ a , b ] → R n {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} مشتق‌پذیر باشد آنگاه

Length ( γ ) = ∫ a b | d γ d t | d t . {\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\,{d\gamma \over dt}\,\right|\,dt.} {\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\,{d\gamma \over dt}\,\right|\,dt.}
  • Curve. (2011, May 31). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 16:06, June 8, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Curve&oldid=431898353
  1. [1]
    hypotrochoid
  2. [2]
    کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه، چاپ دهم ۱۳۸۳، شابک ‎۹۷۸۹۶۴۰۵۰۵۸۹۲، ص ۲۴
  3. [3]
    کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه،
  4. [4]
    کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه، چاپ دهم ۱۳۸۳، شابک ‎۹۷۸۹۶۴۰۵۰۵۸۹۲، ص ۲۶
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

تعریف منحنی

انواع منحنی (خم)

منحنی مسطح

انواع منحنی مسطح

قضیه منحنی جردن

تعاریف

قراردادها و اصطلاحات

انحناء منحنی‌ها

طول خم

منابع