FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

مانده (آنالیز مختلط)

From Wikipedia, the free encyclopedia

مانده (آنالیز مختلط)
مثالمحاسبهٔ ماندهجستارهای وابستهمنابع

در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده را به‌دست می‌دهند.

به عنوان یک مثال، انتگرال

∮ C e z z 5 d z {\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz} {\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}

را در نظر بگیرید که C یک خم ژوردان حول ۰ است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارد انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور ez را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم:

∮ C 1 z 5 ( 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + z 4 4 ! + z 5 5 ! + z 6 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.} {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}

حال 1/z5 را به داخل سری می‌بریم و داریم

∮ C ( 1 z 5 + z z 5 + z 2 2 ! z 5 + z 3 3 ! z 5 + z 4 4 ! z 5 + z 5 5 ! z 5 + z 6 6 ! z 5 + ⋯ ) d z {\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz} {\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz}
∮ C ( 1 z 5 + 1 z 4 + 1 2 ! z 3 + 1 3 ! z 2 + 1 4 ! z + 1 5 ! + z 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.} {\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}

حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن

∮ C 1 z a d z = 0 , a ∈ R ,  for  a ≠ 1. {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {R} ,{\mbox{ for }}a\neq 1.} {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {R} ,{\mbox{ for }}a\neq 1.}

اکنون انتگرال حول C برای هر جمله که به شکل cz−1 نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود:

∮ C 1 4 ! z d z = 1 4 ! ∮ C 1 z d z = 1 4 ! ( 2 π i ) = π i 12 . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.} {\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}

مقدار 1/4! با عنوان مانده‌ی ez/z5 در z = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود

R e s 0 e z z 5 ,   o r   R e s z = 0 e z z 5 ,   o r   R e s ( f , 0 ) . {\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {or} \ \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {or} \ \mathrm {Res} (f,0).} {\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {or} \ \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {or} \ \mathrm {Res} (f,0).}

دیسک سوراخ‌دار D = {z : 0 <|z − c| <R} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک f (حداقل) تعریف شده بر D را در نظر بگیرید. ماندهٔ f در c ضریب a−1 از (z − c)−1 در سری لوران بسط f حول c است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ٔ

Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)} {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)}

بدست می‌آید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقالهٔ سری لوران داریم:

Res ⁡ ( f , c ) = 1 2 π i ∫ γ f ( z ) d z {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz} {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz}

که γ دایره را حول c در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول c انتخاب کنیم که ε به اندازه دلخواه کوچک است. ماندهٔ تابع f(z)=g(z)/h(z) در قطب ساده c که gو h توابع هولومورفیک در همسایگی c با h(c) = 0 و g(c) ≠ 0 به‌وسیله‌ی

Res ⁡ ( f , c ) = g ( c ) h ′ ( c ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}} {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}}

داده می‌شود. به طور کلی‌تر، مانده f حول z = c، یک قطب از مرتبه n، با فرمول

R e s ( f , c ) = 1 ( n − 1 ) ! ⋅ lim z → c ( d d z ) n − 1 ( f ( z ) ⋅ ( z − c ) n ) {\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right)} {\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right)}

بدست می‌آید. اگر تابع f روی تمام دیسک { z : |z − c| <R } هولومورفیک باشد آنگاه Res(f، c) = 0. عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.

  • قضیه مانده
  • فرمول انتگرال کوشی
  • قضیه انتگرال کوشی
  • روشهای انتگرال‌گیری منحنی‌الخط
    • Residue (complex analysis). (2011، April 29). In Wikipedia، The Free Encyclopedia. Retrieved 16:01، June 8، 2011، from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Residue_(complex_analysis)&oldid=426575287
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    مثال

    محاسبهٔ مانده

    جستارهای وابسته

    منابع