فرم دوخطی تبهگن

در ریاضیات، به ویژه جبر خطی شکل دوخطی تبهگن (f(x,y روی بردار فضای V آن است که تبدیل V به *V که به صورت ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$ است هم شکل نباشد. تعریف معادل هنگامی که V بعدی غیر بینهایت دارد این است که هسته غیر بدیهی داشته باشد: x غیر صفری در V وجود داشته باشد به شکلی که:

برای هر${\displaystyle :y\in V:}$ ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$

حالت غیر تبهگن حالتی است که ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$ هم ریخت است یا به طور معادل بعد آن محدود است اگر و فقط اگر؛

برای هر${\displaystyle :y\in V:}$ ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$ نتیجه بدهد: x=0

اگر بعد V محدود باشد، آنگاه شکل دوخطی تبهگن است اگر و فقط اگر دترمینان ماتریس متناظر صفر باشد (اگر و فقط اگر ماتریس تکین باشد.)، و نتیجتا حالت تبهگن، حالت تکین نیز نامیده می شود. به همین شکل حالت غیر تبهگن متناظر با ماتریس غیر تکین است و به حالت غیر تکین نیز نامیده می شود. این عبارت از پایه های انتخاب شده مستقل است. مهمترین مثال حالت غیر تبهگن ضرب داخلی است.

بعد نا متناهی

توجه کنید که در یک فضا با بعد نا متناهی می توان حالت دوخطی ای برای f داشت به طوری که ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$ یک به یک باشد و نه پوشا. برای مثال در قضای توابع پیوسته روی یک بازه بسته حالت زیر پوشا نیست.

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)dx}$

به طور مثال تابع دلتا دیراک در فضای دوگانه است ولی فرم لازم را ندارد. از طرف دیگر این حالت دوخطی در عبارت زیر صدق می کند.

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0\,}$ برای هر ${\displaystyle \,\phi }$ نتیجه بدهد : ${\displaystyle \psi =0.\,}$

منابع

• ویکی پدیای انگلیسی