From Wikipedia, the free encyclopedia
توزیع نُرمال (به انگلیسی: Normal distribution)، توزیع گاوسی (به انگلیسی: Gaussian) یا توزیع بههنجار[1] ، یکی از مهمترین توزیعهای احتمال پیوسته در نظریه احتمالات است.[2][3] دلیل این نامگذاری، نیز اهمیت این توزیع، این است که اُفتوخیز بسیاری از کمیتهای طبیعی (فیزیکی) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی میکند. دلیل آن هم، قضیهٔ حد مرکزی است.
برای تأییدپذیری کامل این مقاله به منابع بیشتری نیاز است. |
تابع چگالی احتمال | |||
تابع توزیع تجمعی | |||
نماد | |||
---|---|---|---|
پارامترها |
= میانگین (مکان) = واریانس (مقیاس بتوان دو) | ||
تکیهگاه | |||
تابع چگالی احتمال | |||
تابع توزیع تجمعی | |||
چندک | |||
میانگین | |||
میانه | |||
مُد | |||
واریانس | |||
انحراف مطلق میانگین | |||
چولگی | |||
کشیدگی | |||
آنتروپی | |||
تابع مولد گشتاور | |||
تابع مشخصه | |||
اطلاع فیشر |
| ||
معیار واگرایی کولبک-لیبلر |
بر پایه قضیهٔ حد مرکزی، مجموع متغیرهای تصادفی مستقل، که هر یک، میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش شمار متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال میشود. برای نمونه، بااینکه چندین عامل بر خطای اندازهگیریِ یک کمیت اثر میگذارند (مانند خطای وسیله اندازهگیری، خطای خواندن، شرایط محیط و …)، اما خطای اندازهگیری در اندازهگیریهای پشتسرهم، دارای توزیع نرمال میشود، که حول مقدار ثابتی، که همان میانگین خطاست، پراکنده شدهاست. نمونههای دیگر، قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.
توزیع نرمال، گاهی بهسبب استفادهٔ گاوس از آن در کارهایش، توزیع گاوسی (به انگلیسی: Gaussian) هم نامیدهمیشود. همچنین، این توزیع، بهدلیل شکل تابع چگالی احتمال آن، به توزیع زنگولهای (زنگدیس) نیز معروف است.
تابع چگالی احتمال این توزیع، دو پارامتر دارد که یکی، میانگین () و دیگری انحراف معیار () توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال این توزیع، حول میانگین آن، متقارن است. وقتی و باشد، این توزیع، نرمال استاندارد نامیدهمیشود.
یک توزیع احتمال، با تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور مشخص میشود. در جدول چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آمدهاند.
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای و ، چنین است:
گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبهای تعریف شدهاند. یعنی برای هر که Re[p]> −۱، هست.
در اینجا !!n نشان دهنده فاکتوریل دوبل است.
(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند.)
اگر و a,b هر دو حقیقی باشند، آنگاه
اگر و متغیرهای تصادفی نرمال مستقل باشند آنگاه:
تقریباً ۶۸٪ از نمونههایی که از توزیع نرمال گرفتهشوند، فاصلهای برابر یا کمتر از انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین دارند. تقریباً ۹۵٪ از نمونههایی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصلهای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین دارند. تقريبا 99/7 % نمونهها نیز در فاصله كمتر از سه برابر انحراف معيار توزيع نسبت به ميانگين قرار میگيرند.
اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ و امید ریاضی μ باشد، تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد میسازد:[4]
جواب به این صورت محاسبهپذیر است:
( از روی جداول چگالی توزیع نرمال استاندارد یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست میآید.)
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.