تبدیل هنکل

تبدیل هنکل (به انگلیسی: Hankel transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که اولین بار توسط هرمن هنکل، ریاضی‌دان آلمانی مطرح شد. این تبدیل با نام تبدیل فوریه-بسل نیز شناخته شده‌است.

تبدیل هنکل تبدیلی است که تابع ${\displaystyle f(r)}$ را به صورت یک مجموع وزن‌دار از بی‌نهایت تابع بسل نوع اول ${\displaystyle J_{\nu }(kr)}$ در نظر می‌گیرد. توابع بسل به‌کار رفته در این مجموع، همگی از مرتبه ${\displaystyle \nu }$ هستند اما در عامل اندازه ${\displaystyle k}$ در محور ${\displaystyle r}$ متفاوت‌اند. ضریب ضروری ${\displaystyle F_{v}}$ برای هر تابع بسل در عبارت مجموع، که تابعی از عامل اندازه یا همان ${\displaystyle k}$ است، تابع تبدیل‌شده را تشکیل می‌دهد.

تعریف

تابع هنکل مرتبه ${\displaystyle \nu }$ برای تابع ${\displaystyle f(r)}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\operatorname {d} \!r}$

که در آن ${\displaystyle J_{\nu }}$ تابع بسل نوع اول از مرتبه ${\displaystyle \nu }$ است با شرط ${\displaystyle \nu \geq -1/2}$.

معکوس

معکوس تبدیل هنکل تابع ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\operatorname {d} \!k}$

تبدیل هنکل توابع رایج

در جدول زیر تبدیل هنکل مرتبه صفر برای تعدادی ار توابع رایج آمده‌است:^[۱]

${\displaystyle f(r)\,}$	${\displaystyle F_{0}(k)\,}$
${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \delta (k)/k\,}$
${\displaystyle 1/r\,}$	${\displaystyle 1/k\,}$
${\displaystyle r\,}$	${\displaystyle -1/k^{3}\,}$
${\displaystyle r^{3}\,}$	${\displaystyle 9/k^{5}\,}$
${\displaystyle r^{m}\,}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,}$ (قسمت صحیح m باید بین ${\displaystyle -2}$ و ${\displaystyle -1/2}$ باشد)
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi k}}}K_{-1/2}(k|z|)\,}$
${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\,}$	${\displaystyle K_{0}(kz)\,}$ (z می‌تواند هر عدد مختلطی باشد)
${\displaystyle e^{iar}/r\,}$	${\displaystyle i/{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}\quad (a>0,k<a)\,}$
${\displaystyle \,}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,k>a)\,}$
${\displaystyle e^{-a^{2}r^{2}/2}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)\,}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}}$

در جدول زیر نیز تبدیل هنکل مرتبه ${\displaystyle \nu }$ برای توابع پرکاربرد آمده است:

${\displaystyle f(r)\,}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)\,}$
${\displaystyle r^{s}\,}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}{\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}\,}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma \left(s,r^{2}h\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\frac {k^{2}}{4h}}\right)\,}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U\left(a,b,r^{2}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)\,}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

جستارهای وابسته

• تبدیل فوریه
• فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه

منابع

1. Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics (به انگلیسی). Florida USA: Krieger Publishing Company. pp. 140–175. ISBN 0898743583.

• Gaskill, Jack D. (1978). Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-29288-5.
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. ۱۷۹–۲۲۳.
• Offord, A. C. (1935). "On Hankel transforms". Proceedings of the London Mathematical Society. ۳۹ (۲): ۴۹–۶۷. doi:10.1112/plms/s2-39.1.49.
• Eason, G.; Noble, B.; Sneddon, I. N. (1955). "On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel Functions". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 247 (935): ۵۲۹–۵۵۱. JSTOR ۹۱۵۶۵.
• Kilpatrick, J. E.; Katsura, Shigetoshi; Inoue, Yuji (1967). "Calculation of integrals of products of Bessel functions". Mathematics of Computation. ۲۱ (۹۹): ۴۰۷–۴۱۲. doi:10.1090/S0025-5718-67-99149-1.
• MacKinnon, Robert F. (1972). "The asymptotic expansions of Hankel transforms and related integrals". Mathematics of Computation. ۲۶ (118): ۵۱۵–۵۲۷. doi:10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9. JSTOR ۲۰۰۳۲۴۳.
• Linz, Peter; Kropp, T. E. (1973). "A note on the computation of integrals involving products of trigonometric and Bessel functions". Mathematics of Computation. ۲۷ (124): ۸۷۱–۸۷۲. JSTOR ۲۰۰۵۵۲۲.
• Noll, Robert J (1976). "Zernike polynomials and atmospheric turbulence". Journal of the Optical Society of America. ۶۶ (۳): ۲۰۷–۲۱۱. Bibcode:1976JOSA...66..207N. doi:10.1364/JOSA.66.000207.
• Siegman, A. E. (1977). "Quasi-fast Hankel transform". Opt. Lett. ۱ (۱): ۱۳–۱۵. Bibcode:1977OptL....1...13S. doi:10.1364/OL.1.000013.
• Magni, Vittorio; Cerullo, Giulio; De Silverstri, Sandro (1992). "High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation". J. Opt. Soc. Am. A. ۹ (۱۱): ۲۰۳۱–۲۰۳۳. Bibcode:1992JOSAA...9.2031M. doi:10.1364/JOSAA.9.002031.
• Agnesi, A.; Reali, Giancarlo C.; Patrini, G.; Tomaselli, A. (1993). "Numerical evaluation of the Hankel transform: remarks". Journal of the Optical Society of America A. ۱۰ (۹): ۱۸۷۲. Bibcode:1993JOSAA..10.1872A. doi:10.1364/JOSAA.10.001872.
• Barakat, Richard (1996). "Numerical evaluation of the zero-order Hankel transform using Filon quadrature philosophy". Applied Mathematics Letters. ۹ (۵): ۲۱–۲۶. MR 1415467.
• Ferrari, José A.; Perciante, Daniel; Dubra, Alfredo (1999). "Fast Hankel transform of nth order". J. Opt. Soc. Am. A. ۱۶ (۱۰): ۲۵۸۱–۲۵۸۲. Bibcode:1999JOSAA..16.2581F. doi:10.1364/JOSAA.16.002581.
• Secada, José D. (1999). "Numerical evaluation of the Hankel transform". Comp. Phys. Comm. 116 (۲–۳): ۲۷۸–۲۹۴. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. doi:10.1016/S0010-4655(98)00108-8.
• Wieder, Thomas (1999). "Algorithm 794: Numerical Hankel transform by the Fortran program HANKEL". ACM Trans. Math. Soft. ۲۵ (۲): ۲۴۰–۲۵۰. doi:10.1145/317275.317284.
• Knockaert, Luc (2000). "Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. ۴۸ (۶): ۱۶۹۵–۱۷۰۱.^{[پیوند مرده]}
• Zhang, D. W.; Yuan, X. -C.; Ngo, N. Q.; Shum, P. (2002). "Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields". Opt. Exp. ۱۰ (۱۲): ۵۲۱–۵۲۵.
• Markham, Joanne; Conchello, Jose-Angel (2003). "Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۰ (۴): ۶۲۱–۶۳۰. Bibcode:2003JOSAA..20..621M. doi:10.1364/JOSAA.20.000621.
• Perciante, César D.; Ferrari, José A. (2004). "Fast Hankel transform of nth order with improved performance". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۱ (۹): ۱۸۱۱. Bibcode:2004JOSAA..21.1811P. doi:10.1364/JOSAA.21.001811.
• Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). "Computation of quasi-discrete Hankel transform of integer order for propagating optical wave fields". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۱ (۱): ۵۳–۵۸. Bibcode:2004JOSAA..21...53G. doi:10.1364/JOSAA.21.000053.
• Cerjan, Charles (2007). "The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۴ (۶): ۱۶۰۹–۱۶۱۶. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. doi:10.1364/JOSAA.24.001609.