نشان‌گذاری برا-کت

نشان‌گذاری برا-کت (به انگلیسی: Bra-ket notation) یک نوع نشان‌گذاری جهت توضیح موقعیت جسم در مکانیک کوانتم است که برای نمایش آن از کمانک زاویه‌دار و خط عمودی استفاده می‌شود که نام آن برا (به انگلیسی: bra) و کت (به انگلیسی: ket) می‌گویند. مانند ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ که به سمت چپ ${\displaystyle \langle \phi |}$ برا و به سمت راست ${\displaystyle |\psi \rangle }$ کت می‌گویند. این نشان‌گذاری اولین بار توسط دیراک معرفی شد^[1] و به همین دلیل به آن نشان‌گذاری دیراک نیز می‌گویند.

برا و کت

فضای کت فضای برداری مختلطی است که بعد آن بر طبق طبیعت سیستم فیزیکی مورد نظر معین می‌شود.

کاربرد در مکانیک کوانتم

در مکانیک کوانتم، وضعیت یک سیستم فیزیکی مانند پرتو با یک عدد مختلط در فضای هیلبرت، ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ و یک نقطه در فضای هیلبرت، هر بردار در پرتو با "ket" که ${\displaystyle |\psi \rangle }$ نوشته می‌شود، و کتِ سای خوانده می‌شود. (هر متغیر دیگری می‌تواند جایگزین علامت سای که یک نماد یونانی است، شود) هر کت می‌تواند با تعدادی بردار یکه مشخص شود،

${\displaystyle |\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},}$

به علت اینکه فضای هیلبرت دارای بی‌نهایت بعد است؛ و به همین دلیل می‌توان یک متغیر کت را با بی‌نهایت بردار نشان داد. برا نمایشگر هر بردار خاص از این بی‌نهایت بردار است،

${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)\ =ce^{-ikx}.}$

هر ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$ یک همزاد برا دارد، که به صورت ${\displaystyle \langle \psi |}$ نوشته می‌شود. مثلاً برای مطابق با کت بالا عبارت است از:

${\displaystyle \langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},\dots )}$

این یک تابع خطی پیوسته از ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ به اعداد مختلط ${\displaystyle \mathbb {C} }$ است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \langle \psi |:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)} برای همه «کت»های ${\displaystyle |\rho \rangle }$

ویژگی‌ها

خطی بودن

• هنگامی که براها توابعی خطی‌اند:

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .}$

شرکت‌پذیری

• براها و کت‌ها شرکت‌پذیرند، نظیر:

${\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle }$

${\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)}$

همیوغ هرمیتی

${\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }$

${\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle }$

عملگر واحد

داریم:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$

بنابر این به سادگی می‌توان نتیجه گرفت:

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|={\hat {1}}}$

منابع

1. PAM Dirac (1982), The principles of quantum mechanics (به انگلیسی) (Fourth ed.), Oxford UK: Oxford University Press, p. 18

پیوند به بیرون

• Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
  • 1. Ket space
  • 2. Bra space
  • 3. Operators
  • 4. The outer product
  • 5. Eigenvalues and eigenvectors
• Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation.
• Feynman, Leighton and Sands (1965), The Feynman Lectures on Physics Vol. III (به انگلیسی), Addison-Wesley