FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

احتمالات بیزی

From Wikipedia, the free encyclopedia

احتمالات بیزی
رابطهٔ بیزاثباتیک مثالمثالی دیگرمنابع

احتمالات بیزی، استدلال بیزی، روشی بر پایه احتمالات برای استنتاج کردن است. اساس این روش، بر این اصل، استوار است که برای هر کمیتی، یک توزیع احتمال، وجود دارد که با مشاهده یک داده جدید، و استدلال در مورد توزیع احتمال آن، می‌توان تصمیمات بهینه‌ای اتخاذ کرد.

این قضیه از آن جهت، مفید است که می‌توان از طریق آن، احتمال یک پیشامد را با مشروط کردن نسبت به وقوع یا عدم وقوع یک پیشامد دیگر، محاسبه کرد. در بسیاری از حالت‌ها، محاسبهٔ احتمال یک پیشامد به صورت مستقیم، کاری دشوار است. با استفاده از این قضیه و مشروط کردن پیشامد مورد نظر نسبت به پیشامد دیگر، می‌توان احتمال مورد نظر را محاسبه کرد.

فرض می‌کنیم P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} {\displaystyle P(B|A)} را به راحتی می‌توانیم حساب کنیم. آنگاه از رابطهٔ بیز استفاده کرده و P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} {\displaystyle P(A|B)} را حساب می‌کنیم.

فرض می‌کنیم A 1 , A 2 , . . . , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} فضای نمونه را افراز کند. همچنین برای هر i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n} {\displaystyle i=1,2,...,n} داشته باشیم A 1 , A 2 , . . . , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} ، آن گاه داریم:

P ( A i | B ) = P ( A i ) P ( B | A i ) ∑ j = 1 n P ( A j ) P ( B | A j ) {\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i})\,P(B|A_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(A_{j})\,P(B|A_{j})}}} {\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i})\,P(B|A_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(A_{j})\,P(B|A_{j})}}}

با استفاده از قانون ضرب احتمال :

P ( B ∩ A i ) = P ( B | A i ) P ( A i ) = P ( A i | B ) P ( B ) {\displaystyle P(B\cap A_{i})=P(B|A_{i})P(A_{i})=P(A_{i}|B)P(B)} {\displaystyle P(B\cap A_{i})=P(B|A_{i})P(A_{i})=P(A_{i}|B)P(B)}

مثال رادار :

  • احتمال اینکه یک هواپیما وجود داشته باشد ۰٫۰۵ است. P ( A ) {\displaystyle P(A)} {\displaystyle P(A)}
  • اگر هواپیما وجود داشته باشد، رادار با احتمال ۰٫۹۹ هواپیما را پیدا می‌کند. P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} {\displaystyle P(B|A)}
  • اگر هواپیما وجود نداشته باشد، رادار با احتمال ۰٫۱ وجود هواپیما را اعلام می‌کند. P ( B | A ′ ) {\displaystyle P(B|A')} {\displaystyle P(B|A')}

احتمال اینکه هواپیما وجود داشته باشد، به شرط اینکه رادار نقطه‌ای را نشان دهد :

P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A )   P ( A ) P ( B | A ) +   P ( A ′ ) P ( B | A ′ ) = 0.05 ∗ 0.99   0.05 ∗ 0.99 +   0.95 ∗ 0.1 = 0.34 {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)\,P(B|A)}{\ P(A)\,P(B|A)+\ P(A')\,P(B|A')}}={\frac {0.05*\,0.99}{\ 0.05*\,0.99+\ 0.95*\,0.1}}=0.34} {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)\,P(B|A)}{\ P(A)\,P(B|A)+\ P(A')\,P(B|A')}}={\frac {0.05*\,0.99}{\ 0.05*\,0.99+\ 0.95*\,0.1}}=0.34}

مثال تست بیماری :

  • در یک جامعه ۰٫۱٪ افراد بیمارند. P ( A ) {\displaystyle P(A)} {\displaystyle P(A)}
  • اگر شخص بیمار باشد، تست به احتمال ۹۵٪ مثبت می‌آید. P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} {\displaystyle P(B|A)}
  • اگر شخص سالم باشد، تست به احتمال ۹۵٪ منفی می‌آید. P ( B | A ′ ) {\displaystyle P(B|A')} {\displaystyle P(B|A')}

حال اگر یک نفر به‌طور تصادفی از این جامعه انتخاب کنیم و تست مثبت بیاید، احتمال آنکه آن شخص بیمار باشد برابر است با :

P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A )   P ( A ) P ( B | A ) +   P ( A ′ ) P ( B | A ′ ) = 0.001 ∗ 0.95   0.001 ∗ 0.95 +   0.999 ∗ 0.05 = 0.018 {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)\,P(B|A)}{\ P(A)\,P(B|A)+\ P(A')\,P(B|A')}}={\frac {0.001*\,0.95}{\ 0.001*\,0.95+\ 0.999*\,0.05}}=0.018} {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)\,P(B|A)}{\ P(A)\,P(B|A)+\ P(A')\,P(B|A')}}={\frac {0.001*\,0.95}{\ 0.001*\,0.95+\ 0.999*\,0.05}}=0.018}

    • A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross
    • Athanasios Papoulis-probability and statistics
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    رابطهٔ بیز

    اثبات

    یک مثال

    مثالی دیگر

    منابع