۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …
یک سری نامتناهی از اعداد طبیعی متوالی است که متناوباً تفریق و جمع میشوند / From Wikipedia, the free encyclopedia
در ریاضیات، ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + … یک سری نامتناهی از اعداد طبیعی متوالی است که متناوباً تفریق و جمع میشوند. با استفاده از نماد سیگما برای مجموعیابی، مجموع جمله اول از این سری به صورت زیر نمایش مییابد:
این سری نامتناهی واگراست؛ به این معنا که دنبالهی مجموع جزئی آن (۱، -۱، ۲، -۲، ...) به یک حد مشخص میل نمیکند. با این حال، در میانه قرن ۱۸ میلادی، لئونارد اویلر معادله زیر را که به زعم وی توأم با یک پارادوکس بود نوشت:
تا مدتها بعد شرحی مستحکم از نظر ریاضی برای این معادله یافت نشد. در دههی ۱۸۹۰، ارنستو چسارو، امیل بورل و دیگران روشهایی خوشتعریف را برای در نظر گرفتن مجموعهایی تعمیمدادهشده برای سریهای واگرا مطالعه کردند، که شامل تفسیرهایی جدید از کار اویلر نیز میشد. بسیاری از این روشهای مجموعیابی برای ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + … عدد ۱⁄۴ را در نظر میگیرند. روش مجموعیابی چسارو از معدود روشهاییست که قادر به مجموعیابی این سری نیست. بنابراین این سری نیاز به روشهایی قدری قویتر نظیر روش مجموعیابی آبل برای سریهای واگرا دارد.
سری ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + … ارتباط نزدیکی با سری گراندی دارد. اویلر این دو سری را به عنوان حالتهایی خاص از سری 1 − 2n + 3n − 4n + ... به ازای مقادیر دلخواه n و در ادامه پژوهشهایش بر روی مسئله بازل قلمداد میکرد، که به معادلات تابعی از تابع اتای دیریکله و تابع زتای ریمان میرسد.