From Wikipedia, the free encyclopedia
انتگرال عددی (انگلیسی: Numerical integration) در آنالیز عددی بزرگ گروهی الگوریتم برای انجام محاسبات مقدار عددی انتگرال معین است. موضوع بنیادی در انتگرال عددی محاسبه تقریبی انتگرال معین در درجه دقت داده شدهاست:
اگر f(x) تابع هموار و انتگرالپذیر در بعد متناهی, و دامنه انتگرال محدود باشد. بسیار روش مال تقریب معین در درجه دقت داده دردند.
تربیع اصطلاح تاریخی ریاضی برای مساحت محاسبه بود. تربیع مسئله یک از منبع آنالیز ریاضی بود. ریاضی دانان یونان باستان, طبق مکتب فیثاغوری, مساحت محاسبه به عنوان فرایند برای ساخت به طور هندسی یک مربع داشتن همان مساحت شناخت, مثلا تربیع دایره, هلال بقراط, تربیع سهمی. این ساخت و ساز باید تنها با استفاده از پرگار و صاف انجام شود.
تربیع یک مستطیل با ضلع a و b نیاز برای ساخت یک مربع با مربع (میانگین هندسی مال a و b) است. برای این منظور ممکن است به استفاده از این واقعیت زیر: اگر دایره به جمع A و B به عنوان قطر کشیدیم، سپس ارتفاع BH (از یک نقطه اتصال خود را به عبور از با یک دایره) میانگین هندسیشان برابر هشتند. یک جور مسئلهی تربیع برای یک متوازیالأضلاع و یک مثلث حل بکن.
مشکلات تربیع برای چهره های منحنی بسیار مشکل تر است. در سده ۱۹ (میلادی) تربیع دایره با قطبنما و ستاره غیرممکن اثبات کرده بود. هنوز, تربیع برای برخی از شکل (مثلا هلال بقراط) می توان انجام شود. تربیع بخش کره و تربیع سهمی ارشمیدس کرد بزرگترین دستیابی باستانی شود.
ارشمیدس استفاده روش افنا از اودوکسوس اثبات کرد.
در قرون وسطی در اروپا تربیع محاسبه مساحت به معنای بود با هر روشی. بارها روش غیر قابل تقسیم استفاد کرد. آن دقیق کمتر، اما ساده تر و پرتوان بود. با این کمک گالیلئو گالیله و ژیل دو روبروال مساحت چرخزاد منحنی محاسبه, گرگوآر دو سن-ونسان مساحت هذلولی محاسبه کرد و آلفونس آنتونیو ده سرسا شاگرد دو سن-ونسان مساحت لگاریتم محشور شد.
جان والیس الجبر ساخت:او در است (Arithmetica Infinitorum (۱۶۵۶ در است Arithmetica Infinitorum (1656) او مجموعهای ای خود نوشت که ما امروز انتگرال معین نام برد، و ارزشش های را محاسب کرد. آیزاک بارو و جیمز گریگوری پیشرفت کردند: تربیع برای خم جبری مارپیچ را محاسبه کردند. کریستیان هویگنس تربیع جسم دورانی محاسبه کرد.
یک تربیع از هذلولی توسط سنت ونسان و ده سرسا یک تابع جدید، لگاریتم طبیعی، که اهمیت حیاتی است.
با اختراع حساب انتگرال روش جهانی برای محاسبه مساحت شود. در واکنش به این واژه تربیع سنتی تبدیل شده است، و به جای عبارت مدرن "محاسبه از یک انتگرال معین تک متغیره" شایع تر است.
چند دلیل برای ادغام عددی انجام است:
انتگرال گیری عددیی روش هستند به طور کلی ترکیب ارزیابی انتگرالده برای محاسبه تقریبی انتگرال. انتگرالده در یک مجموعه متناهی از نقاط به نام انتگرال نقاط است و این مجموع وزن مقدار تقریبی انتگرال استفاده است. نقاط ادغام و وزن با بستگی دارد روش بخصوص و دقت تقریبی مقتضیات.
بخش عمده از تجزیه و تحلیل ادغام عددی است که مطالعه رفتار خطای یک تقریب شماره ارزیابی انتگرال اسنت. روش بازده خطای کوچک برای تعداد کمی از سنجش است که معمولا برتر در نظر گرفته. کاهش تعداد ارزیابی انتگرال را کاهش می دهد تعداد عملیات ریاضی درگیر، و در نتیجه کاهش کل خطاي گرد کردن. بعلاوه, هر ارزیابی زمان طول می کشد, و ممکن است دلخواه پیچیده است.
تا درجهای 'نیروی بی رحم ' ادغام عددی می تواند انجام شود، اگر انتگرال منطقی خوش رفتار کند (یعنی تابع چندضابطهای پیوسته و تغییرات کراندار)، با ارزیابی انتگرال با فاصله بسیار کوچک است.
طبقه عظیمی از قوانین تربیع را می توان با ساخت توابع درونیابی درونیابی است که بسیار آسان به ادغام مشتق شده. به طور نمونه این تابعها چندجملهایها هستند. در عمل چندجملهای درجه بسیار بالا تمایل به دامنه در بزرگ نوسان, بنابراین تنها چندجملهای درجه کوچک, در اکثر موارد, خطی و درجه دو استفاده شودند.
آسان ترین روش از این گونه تابع درونیابی یک تابع ثابت (یک چندجملهای از درجه صفر) از طریق نقطهی ((A + B) / 2، F ((A + B) / 2)) است. این است که قاعده میانگاهی نامید و قانون مستطیل:
تابع درونیابی ممکن است یک خط راست (یک تبدیل آفین، یعنی یک چندجملهای از یک درجه) طریق نقطهی (a, f(a)) و (b, f(b)). این است که قانون ذوزنقه نامید:
در هر دو قوانین، ما می توانیم یک تقریب دقیق تر به تفکیک n فاصله فرعیها در [A,B]، محاسبه تقریبی برای هر فاصله فرعی، سپس خلاصه کرد. این یک قانون کامپوزیت، قانون گسترده، یا قانون مکرّر نامیده شود. مثلا، قانون ذوزنقه ای می تواند بیان:
که در آن زیرفاصلهها به فرم [k h، (k+1)h]، با h = (b-a)/n و k = 0،1،2،...،n-1 هستیم.
درونیابی با چند جمله ای در نقاط تقسیم متساوی الفاصله ارزیابی [a,b] بازده به فرمول نیوتن-کتنر، که قانون میانگاهی و قانون ذوزنقه ای نمونه هستند. قانون سیمپسون است که در یک چند جمله ای از درجه دوم متکی است فرمول نیوتن-کتنر است.
فرمول تربیع در نقاط به همان اندازه فاصله با اموال بسیار مناسب تودرتو است. قانون متناظر با هر فاصله تقسیم شامل تمام نقاط فعلی، بنابراین کسانی که ارزش انتگرال را می توان دوباره استفاده می شود.
اگر ما اجازه می دهد که فواصل بین نقاط درونیابی به متفاوت است، ما گروه دیگر از فرمول مربع، مانند فرمول تربیع گاوسی پیدا. قانون تربیع گاوسی معمولا دقیق تر از قانون نیوتن-کتنر، که نیاز به همان تعداد از ارزیابی عملکرد است، اگر انتگرال هموار است (یعنی، اگر آن را به قادر مشتقپذیر). روش های دیگر مربع با فواصل مختلف شامل تربیع چندجملهای-کورتیس (همچنین به نام تربیع فجر) روش ها، که لانه بکنند.
قوانین تربیع گاوسی انجام لانه نیست، اما مرتبط فرمول تربیع گاوس- قرونرنود فرمول دهید.
اگر f (x) مشتقات بسیاری در تمام نقاط را نداشنت، و یا اگر مشتقات بزرگ تبدیل شده است، پس از آن تربیع گاوسی اغلب ناکافی. در چنین حالتی, یک الگوریتم مشابه با زیر بهتر خواهد هست:
def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size):
این الگوریتم محاسبه انتگرال معین یک تابع 0-1، انطباقی، با گزین مرحله کوچکتر در نزدیکی نقاط مشکل ساز است .
x = 0.0
h = initial_step_size
accumulator = 0.0
while x < 1.0:
if x + h > 1.0:
h = 1.0 - x
quad_this_step =
if error_too_big_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
h = make_h_smaller(h)
else:
accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h])
x += h
if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
h = make_h_larger(h) # Avoid wasting time on tiny steps.
return accumulator
بعضی از جزئیات از الگوریتم تفکری دقیق نیاز. در بسیاری موارد، خطای تخمین تربیع بیش از یک بازه ی برای تابع (f (x مشخص نیست. یک راه حل محبوب است استفاده دو قانون مختلف به تربیع، و استفاده از تفاوت خود را به عنوان یک برآورد تربیع. یک راه حل محبوب دو قانون مختلف تربیع استفاد، و تفاوت خود استفاده مثل خطای تقریب تربیع. مشکل دیگران تصمیم دلالت بر "بسیار زیاد" یا "بسیار کم" کنند. معیار موضعی برای "بسیار زیاد" است که خطای مربع نباید بزرگتر ازt ·h که در آن t، یک عدد حقیقی و h تحمل که ما مایل به راه خطا برای جهانی است. معیار جهانی که از مجموع در تمام خطای فواصل باید کمتر از t است. این نوع از تجزیه و تحلیل خطا معمولا به نام "پسینی" از آنجایی که ما محاسبه تقریبی و سپس محاسبه خطا.
فن آوری هوشمند برای تربیع تطبیقی توسط Forsythe et al بحث شده است. (بخش 5.4).
دقت از قانون تربیع از نوع نیوتن-كوتس طور کلی است تابعی از تعداد ارزیابیی نقاط. نتیجه این است که معمولا دقیق تر به عنوان تعدادی از نقاط ارزیابی را افزایش می دهد، یا هممعنی آن، به عنوان پهنای اندازه گام بین نقاط را کاهش می دهد. بپرسید طبیعی در مورد نتیجه اگر اندازه گام مجاز به صفر نزدیک میشود. این را می توان با برونیابی نتیجه از دو یا چند اندازه گام غیر صفر، با استفاده از روش شتاب سری مانند برونیابی ریچاردسون پاسخ بده. تابع ممکن است یک تابع چندجملهای یا تابع گویا. روش برون یابی در جزئیات بیشتر Stoer and Bulirsch (بخش 3.4) شرح داده شده و در بسیاری از توابع کتابخانهای همچون QUADPACK اجرا شده است.
اجازه دهید f یک مشتق اول کراندار بیش از [a. b]. قضیه مقدار میانگین برای f، که در آن x <b، بدهد:
برای برخی از vx در [a,x] بستگی به x. اگر ما در x انتگرال شدم از a به b در هر دو طرف و قدر مطلق ، ما به دست آوردم:
ما بیشتر میتوانید بیشتر تقریبی انتگرال در سمت راست با آوردن ارزش مطلق به انتگرال، و به جای واژه در f' با یک کران بالا:
از این رو، اگر تقریبی ما انتگرال ab∫ f(x) dx با تربیع قانون (b − a)f(a) خطای ما بیشتر از راست سمت نیست (**). (بدیدد زبرین). از این رو، اگر ما ab f(x) dx∫ انتگرال به قانون تربیع (b − a)f(a) تقریبم تابع خطایمان بیشتر از سمت راست نیست (**). ما می توانیم این را به یک تحليل خطا برای جمع ریمان (*) تبدیل، به یک کران بالا از:
برای اصطلاح خطای که خاص تقریب (توجه داشت که این دقیقا خطای ما برای مثال محاسبه محاسبه شودند). استفاده از مشتقات بیشتر و افزایش سرعت از تربیع، ما میتوانیم تحليل خطا دادم مشابه با استفاده سری تیلور (با استفاده از مجموع جزئی با جمله باقیمانده) برای f است. این تحليل خطا می دهد محدودیت حد فوقانی در خطا، اگر مشتقات برای f در دسترس هستند.
روش انتگراسيون می تواند در ترکیب با حساب بازهای تولید اثباتها کامپیوتر و تایید محاسبه بکن.
چند انتگرالگیری روشهای تقریبی بیش از بی بازه بی پایانهاها وجود دارند. روش استاندارد براه استفاده مشتق قانون تربیع کنید, مانند گاوس-هرمیت مربع برای انتگرال در کل خط حقیقی و گاوس-لاگر تربیع برای انتگرال در تابع حقیقی مثبت. روش مونت کارلو نیز میتوانید استفاده، و یا یک تغيير متغير به یک فاصله متناهی؛ به عنوان مثال، برای یک تمام خط میتواند با استفاده:
و برای فاصله نیمه نامتناهی می تواند با استفاده:
ترانسفورماسیونها ممکن هستذد.
قوانین تربیع فوق عددی برای انتگرال یک بعدی محاسب. برای محاسبه انتگرال در ابعاد مختلف، یک روش این است که به عبارت انتگرال چندگانه به عنوان انتگرال مکرر یک بعدی با استفاده از به تئوری نوبینی است. این روش نیاز به ارزیابی تابع به رشد نمایی به عنوان تعدادی از ابعاد را افزایش می دهد
روش مونت کارلو و روش شبه مونت کارلو بسیار آسان است به درخواست برای انتگرال های چند بعدی، و ممکن است دقت بیشتر به همان تعداد از ارزیابی عملکرد از یکپارچگی تکرار با استفاده از روش یک بعدی داد.
یک کلاس بزرگ از روش های مفید مونت کارلو الگوریتم مونت کارلو، که شامل الگوریتم متروپلیسهستینگز و نمونه برداری گیبس هستند به اصطلاح زنجیره مارکوف.
سمولیک خلوت شبکه در آغاز برای تربیع توابع با ابعاد بالا توسعه داد. این روش همیشه در یک قانون مربع یک بعدی است، اما یک ترکیب پیشرفته از نتایج تک متغیره انجام.
بیزی تربیع یک روش آماری به مشکل عددی انتگرال محاسبات است و در زمینه عدد احتمالاتی است. این می تواند یک کامل از عدم قطعیت در راه حل انتگرال بیان به عنوان یک واریانس پسين فرآیند فرآیند گوسی ارائه. این نیز شناخته شده به ارائه نرخ همگرایی بسیار سریع است که می تواند تا نمایی در تعدادی از نقاط تربیع n است.
مشکل تعیین انتگرال ارزش:
را می توان به یک مسئله مقدار اولیه برای یک معادله دیفرانسیل معمولی با استفاده از بخش اول قضیه اساسی حسابان کاهش داد. از دو طرف مشتقگیری معادله به آرگومان x، سپس صدق تابع f کرد:
روشهای توسعه یافته برای معادلات دیفرانسیل معمولی، مانند روشهای رونگه-کوتا، می توان به مشکل دوباره آغاز به کار گرفته و بنابر برای ارزیابی انتگرال استفاده. به عنوان مثال، مرتبه چهارم روش معمول رانگ-کوتا اعمال شده به معادله دیفرانسیل بازده حکومت سیمپسون از بالا دار.
دیفرانسیل معادله (F ' (x) = ƒ(x' به یک مخصوص نوع: سمت راست تنها حاوی متغیر وابسته (در اینجا x) و نه متغیر مستقل (در اینجا F). این تئوری و الگوریتم های قابل توجهی ساده کرد.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.