ساختار جبری که بر روی آن جمع، ضرب و تقسیم تعریف شدهاند From Wikipedia, the free encyclopedia
در ریاضیات، میدان یا هیئت[persian-alpha 1] (Field)، مجموعه ای است که بر روی آن جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم تعریف شدهاند. این چهار عمل در میدان همچون چهار عمل متناظرشان در اعداد حقیقی و گویا عمل میکنند؛ لذا یک میدان ساختار جبری بنیادینی است که بهطور گسترده در جبر، نظریه اعداد و بسیاری از شاخههای دیگر ریاضیات مورد استفاده قرار میگیرد.
شناخته شدهترین میدانها، میدان اعداد گویا، میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط میباشد. بسیاری از میدانهای دیگر چون میدان توابع گویا، میدان توابع جبری، میدان اعداد جبری و میدان p-adicها در ریاضیات بهطور معمول مورد استفاده و مطالعه قرار گرفتهاند، بهخصوص در نظریه اعداد و هندسه جبری. بسیاری از پروتکلهای رمزنگاری وابسته به میدانهای متناهی، یعنی میدانهایی با تعداد اعضای متناهی میباشند.
رابطهٔ دو میدان با مفهوم توسعه میدانها بیان میشود. نظریه گالوا، که توسط اواریسته گالوا در دهه ۱۸۳۰ آغاز گشت، خود را وقف فهمیدن تقارن توسعه میدانها نمودهاست. این نظریه، در میان نتایج دیگر، نشان میدهد که تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمیتوان با خطکش و پرگار انجام داد. به علاوه این که نشان میدهد معادلات درجه پنج از نظر جبری حلپذیر نیستند.
میدانها در بسیاری از قلمروهای ریاضیاتی، مفاهیم بنیادینی هستند. از جمله در آنالیز که وابسته به میدانها بوده و بر روی آنها ساختار دیگری میافزاید. قضایای بنیادین آنالیز وابستگی تنگاتنگی به خواص ساختاری میدان اعداد حقیقی دارند. یک کاربرد دیگر که از نظر جبری مهم است این است که هر میدان را میتوان به عنوان اسکالرهایی برای یک فضای برداری مورد استفاده قرار داد، که تم اصلی جبر خطی میباشد. میدان اعداد، رابطه خویشاوندی نزدیکی با اعداد گویا داشته و عمیقاً در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار میگیرند. و در نهایت با کمک میدان توابع میتوان خواص اشیاء هندسی را توصیف کرد.
یک میدان را بهطور غیررسمی میتوان یک مجموعه در نظر گرفت که بر روی آن دو عمل تعریف شدهاست: یکی از این عملها جمع است و به صورت a + b نوشته شده، دیگری ضرب است که به صورت a ⋅ b نوشته میشود. هردوی این عملها رفتار مشابهی دارند، از جمله این که معکوس جمعی برای تمام عناصر a وجود داشته و به صورت −aنوشته میشود، همچنین معکوس ضربی برای تمام عناصر غیر صفر b وجود داشته و به صورت b−1 نوشته میشود. این به ما امکان میدهد تا بتوانیم عمل معکوس هر کدام را بدین شکل تعریف کنیم:
تعریف کلاسیک
یک میدان F را بهطور رسمی به صورت مجموعه ای تعریف میکنند که دو عمل جمع و ضرب بر روی آن تعریف میشود.[1] یک عمل روی F در حقیقت یک تابع است به صورت F×F→F. به بیان دیگر نگاشتی است که به هر جفت عنصر متعلق به F، یک عنصر از همان مجموعه نسبت میدهد. نتیجه افزودن a و b را جمع a و b نامیده و به شکل a + b نمایش میدهند. بهطور مشابه، نتیجه ضرب a و b را به صورت ab یا a ⋅ b نمایش میدهند. این عملیات برای ارضای خواص زیر ضرورت دارند، به این خواص اصول موضوعه میدان میگویند. در این اصول موضوعه، a, b و c عناصر دلخواهی از میدان F هستند.
شرکتپذیری جمع و ضرب: a + (b + c) = (a + b) + c و a · (b · c) = (a · b) · c
جابجایی جمع و ضرب: a + b = b + a و a · b = b · a
همانی جمعی و همانی ضربی: وجود دارد دو عنصر متمایز 0 و 1 در F به گونه ای که a + 0 = a و a · ۱ = a
معکوسات جمعی و ضربی: برای هر a در F وجود دارد عنصری در F که به صورت −a نوشته شده و به آن معکوس جمعیa گفته میشود، چنانکه a + (−a) = ۰. همچنین معکوس ضربی برای تمام عناصر غیر صفر b وجود داشته و به صورت b−1 نوشته میشود.
خاصیت توزیع پذیری ضرب بر روی جمع: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
این اصول را میتوان اینگونه خلاصه کرد: یک میدان دو عمل دارد، که به آنها جمع و ضرب میگویند؛ میدان تحت جمع یک گروه آبلی است که همانی آن 0 میباشد؛ عناصر غیر صفر نیز تحت ضرب یک گروه آبلی دیگر تشکیل میدهند که همانی آنها 1 است؛ ضرب بر روی جمع توزیع پذیر میباشد.
Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN978-0-486-46266-0
Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN978-0-340-54440-2
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN978-0-13-004763-2, especially Chapter 13
Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (به آلمانی), 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN0025-5858, JFM53.0144.01
Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Ann. of Math., 2, 88: 239–271, doi:10.2307/1970573
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol.150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN0-387-94268-8, MR1322960
Kiernan, B. Melvin (1971), "The development of Galois theory from Lagrange to Artin", Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219, MR1554154
Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, vol.12, American Mathematical Society, ISBN0-8218-0943-1, MR1760173
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nded.), Cambridge University Press, ISBN978-0-521-06567-2, Zbl1139.11053
Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN978-0-387-72487-4
Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, vol.5 (2nded.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX10.1.1.36.8448, ISBN978-1-56881-282-3, MR2215060
Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, vol.1999, Springer, ISBN978-3-642-13367-1
Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, vol.7 (2nded.), Springer, ISBN978-0-387-90040-7, Zbl0432.10001
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol.67, Springer, ISBN0-387-90424-7, MR0554237
Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN0-86720-210-6, Zbl0746.12001
Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-42192-4, MR1867431, Zbl1004.12003
Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, pp.261–289