مثلث متساوی‌الاضلاع

مثلث متساوی‌الاضلاع (به انگلیسی: Equilateral triangle) یا سه‌گوشه همسان‌بَر در هندسه به مثلثی گفته می‌شود که سه ضلع آن برابر باشند. در این مثلث هر سه زاویه داخلی نیز برابرند و اندازه هرکدام ۶۰ درجه است. زوایای خارجی این مثلث نیز برابر بوده و هرکدام ۱۲۰ درجه هستند. همچنین این مثلّث حالت خاصّی از مثلّث‌های متساوی‌الساقین است.^[1]

مثلث متساوی‌الاضلاع
نوع	چندضلعی منتظم
اضلاع و رئوس	۳
نماد اشلفلی	{۳}
نماد کاکستر
گروه تقارن	D3
مساحت	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
زاویه داخلی (درجه)	۶۰°

ویژگی‌ها

با فرضِ اینکه درازای اضلاع مثلث متساوی‌الاضلاع ${\displaystyle a\,\!}$ باشد، خواهیم داشت:

• مساحت: ${\displaystyle a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$
• محیط: ${\displaystyle P=3a\,\!}$
• شعاع دایرهٔ محیطی: ${\displaystyle r=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
• شعاع دایرهٔ محاطی: ${\displaystyle r=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}}$
• و ارتفاع: ${\displaystyle a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

این روابط را می‌توان از قضیه فیثاغورس نتیجه گرفت.

ویژگی‌های هندسی این مثلث به این ترتیب می‌باشد.

1. دارای ۳ خط تقارن است
2. هر سه زاویهٔ آن با هم برابرند، بنابر این دارای ۳ زاویه ۶۰ درجه است.
3. دارای یک مرکز تقارن است.

رسم مثلث متساوی‌الاضلاع

رسم مثلث متساوی الاضلاع با استفاده از خط‌کش و پرگار به صورت پویانمایی زیر است.

رسم مثلث متساوی الاضلاع با استفاده از پرگار و خط‌کش

منابع

1. Brian J. McCartin (۲۰۱۰). MYSTERIES OF THE EQUILATERAL TRIANGLE.