قضیه پیک
From Wikipedia, the free encyclopedia
چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحهٔ نقطه گذاری شده با فاصلهٔ مساوی میسازیم.یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی عددی صحیح است.قضیهٔ پیک فرمولی است که با آن میتوان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد. این فرمول کار محاسبه را راحت میکند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی محیط چند ضلعی میدهد.
برای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت A و نقاط داخلی i و نقاط مرزی b (نقاط روی اضلاع یا رئوس) فرمول زیر را داریم:[1]
در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند (i = ۷ و b = ۸)پس:
A = 7 + ۸/۲ − ۱ = ۷ + ۴ − ۱ = ۱۰
پس مساحت ۱۰ واحد مربع است.
قضیهٔ پیک تنها برای چندضلعیهای ساده صادق است و برای چند ضلعیهایی که خود را قطع میکنند یا دارای حفره میباشند باید آنها را به چند ضلعیهای ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیماً روی چند ضلعیهای غیر ساده درست عمل نمیکند.[2][3]
این فرمول اولین بار توسط گئورگ الکساندر پیک بیان شد. او در سال ۱۸۹۹ این فرمول را بیان کرد.[4] با کمک چهار وجهی ریو نشان دادهاند که قضیهٔ پیک هیچ مشابهی در فضای سه بعدی ندارد. (فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد)
با این وجود Ehrhart polynomials تعمیمی از قضیهٔ پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط میشود.