حساب تغییرات
شاخهای از علم ریاضیات / From Wikipedia, the free encyclopedia
حساب وردش[1] یا حساب تغییرات (به انگلیسی: Calculus of variations) حوزه ای از آنالیز ریاضی است که از وردش (تغییرات) کوچک در پردازهها(توابع) و تابعکها برای یافتن ماکسیممها و مینیممها استفاده میکند. نگاشتهایی از یک دسته پردازه (تابع) به اعداد حقیقی.[یادداشت 1] تابعکها اغلب به صورت انتگرالهای معینی بیان میشوند که در آن توابع و مشتقاتشان ظاهر میشوند. پردازههایی که تابعکها را ماکسیمم و مینیمم میکنند را میتوان در حساب وردش توسط معادلات اویلر-لاگرانژ پیدا کرد.
مثالی ساده از چنین مسائلی یافتن خمی با کوتاهترین طول بین دو نقطه است. اگر هیچ قیدی در کار نباشد، جواب این مسئله خط راست بین آن دو نقطه خواهد بود. با این حال، اگر روی خمی قید بگذاریم که در رویه مورد نظر باقی بماند، آنگاه جواب کمی غیر بدیهی شده و ممکن است همزمان چندین جواب وجود داشته باشد. به چنین راهحلهایی ژئودزی میگویند. مسئله مرتبط دیگری توسط اصل فِرما بیان میشود: نور کوتاهترین مسیر بین دو نقطه را طی میکند، که طول مسیر آن به مواد فضای پیرامونیاش بستگی دارد. مفهوم مرتبط دیگر در مکانیک اصل کمترین کنش است.
بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جوابهای مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق میکنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فروبردن یک قاب در محلول آب صابون بدست میآید. گرچه چنین آزمایشی را میتوان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که بهطور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویهها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.